Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
X cxp(^x V7A)
у" - (2ц нес2 v^r + Л) у = О А = qtg2 v^C. Ч > О
L = [O + ^« ctg ± ?)--/4'IV^1 ± V7A] X X[D- v^ctg v^(x ± ?) +
+ Л'8 T V7A]
»in v^(x ± J) X гар(ііЛ)
?/' - (2q spch2 л/^ЇЇя- + X)v = 0* A = q th2 л/^ЇЇС) У < U
Z. = [D + V=« c-th v=«(x ± €)-
— V—<ї th V—«x T V7X] X
X [D - v'=" "th v=«(x ± ?) + + V=«i<>V=«x ± V7A]
»hV=4(x±C)„ "і-2" ChV=^x X cxp(^x V7A)
^ = ^+ -TI-^i)X
x ± ? Ml,2 = —J— X
X exp(T|)
Заметим, что в случае (*) уравнение Ламе есть уравнение Шредингера с потенциалом (2c/sech sj—qx — 2q/3). Его решение для частного случая q = — 1 получено разными способами в работах (Ландау, Лифшиц [161], Лэм [169]) в форме, отличной от (**).
11. Факторизация и интегрирование уравнения Альфана .
71
Таблица 3
Уравнение
Решение
2/"-3(-#— -|)2/'+ Sm ^Jqx 0
3q^qcoSv^qx g^/gcos^/ga
+(—^--ь ——5—-—)У = о
sin у/да; sm у/да
smy/q(x + ak)
У к = -:-7=-X
sm уда;
X exp(-x^/qctg^/qak)
2/'" + 3(-^-|)2/'-s/i у—да; 0
^Зду^спу^а; ! gy^chy7-^^ _ Q sh3 y^qx sh3 y/^qa
sh-/--(z-r-Qfc) ч
2/fc — , .— x sn у7—да;
X ехр(—х-у/—^cthi/—^ctfc)
j,'"_3(—і—
cos ,/да; ^
3gy^siny^a; g^sin^/gc* _
\ Зг- ' Зг-/У~
cos ,/да; cos ,/да
sin у/д(а; + afe) cos у/да;
X OXp(Xy7Cj tg y/qak)
v"' Ч( q
shy^'a; + Qfe) ч
V 3U2V^a; х)У
Зду^вЬ у7-^ gy^sh ^-да, ( сЦЗу^, + сЦЗу^а )У = °
^fc — u і— X ch у7—да;
X exp(—X\f~~q th y/—qa,k)
72
Глава 1
Таблица 4
Пи-функция Вейерштрасса и её вырожденные случаи
Условие совместности
Общая собственная функция
Р(х)
4/j2 = 4A3 - g2X - дз, A = gl - 27g2
А, /і)
~i a(x + a) ф(х,а) = x о-(ж)
x exp(—x?(a))
P(X)
fi = 0, А ф 0
i/)(x;ii;0) = s/P(x) - Zl
y/P(x)-P(w),
Ct = W
1
X2
/j2 = A3, A = 0
(1 + -^)exp(-zVA) v Аж
X + ct , Xs X exP( ct)
q cosec2 л/qx— 3'Я~62
P2 = /(AJi)Ji > 0 J=(A-Z1)(A+!)2
(л/А-іі +
+V*?cts Vqx)x
x exp(—жVA — h)
sin ,/?(1 + a)
-:-p-x
sin ^ Iх
x exp(—Xy/qx
x ctg у/да)
—gcosech2 yf—qx— 3'Я~62
P2 =/(A, Ji)1
«i < 0
(VA+
+ V-9cth y/—qx) x x exp(—жVA — її)
sh yr—q(x + ct) sh \/—qx
x exp(—ж V-9X x cth \/—qry)
qsec2 \/qx—
Q .Ji "3^ = 3T
=/(A, Ji)1
«i > 0
(VA-«i +
+V^tg
x exp(—жVA — Ii)
sin V*?(x + a)
---x
cos y/qx
x exp(—x^/qx X tg y/qct)
q sech2 yf—qx—
q .Ji "3'9 = 3^
=/(A1Ji)1
h < 0
(VA-«i +
+ V39th yr—qx)x x exp(—жVA — її)
sh yr—q(x + ct) ch \f—qx
X exp(xyr—qx X th V3^a)
Примечания к гл. 1
1. Метод факторизации обязан своим появлением открытию аналогии между алгебраическими многочленами и дифференциальными операторами. Ещё в прошлом веке Libri [348, 349] и Brassine [279] начали разрабатывать теорию делимости и теорию исключения для дифференциальных операторов с постоянными и переменными коэффициентами. Изложение некоторых из их результатов можно найти в книгах Айнса [4] и Сансоне [213]. Этим же вопросам посвящены малоизвестные работы Навалихина [188] и Боля [86]. Указанной аналогии посвящена работа (Picard [384]) и уделено большое внимание в энциклопедическом обзоре (Vessiot [413]). Факторизации были посвящены работы: (Frobenius [311], Thomson [407], Cayley [290], Floquet [309], Старков [223]) и др. На самый факт неединственности факторизации обратил внимание LandauЕ. [341]. После работы (Mammana [366]) факторизация через дифференциальные операторы 1-го порядка стала часто называться факторизацией Мамманы, или факторизацией Пойя-Мамманы, т.к. она использовалась и в работе (Polya [383]). Подробное изложение метода факторизации дали Митринович [182] и Попов [204]. Однако впервые систематическое изложение метода факторизации было дано автором в 1965-1967 гг. [22] (см. также [32, 50]). Применения к качественной теории дифференциальных уравнений даны Кондратьевым [153] и Скоробогать-ко [220]. Отщепление оператора 1-го порядка справа или слева приводит к обобщенным уравнениям Риккати 1-го и 2-го рода соответственно. См. работу (Iwinsky [328]), а также работу автора ([50], гл. 2). Аналог критерия Эйзенштейна неприводимости (неразложимости) дифференциальных полиномов над полем рациональных функций дан в работах (Kovacic [337], Беркович [46]).
2. Конструкция результанта двух алгебраических многочленов в виде определителя восходит, по-видимому, к Сильвестру и широко применяется в алгебре. Строгая постановка задачи о дифференциальном результанте содержится уже в работе (Ore [377]). Для линейных функционально-дифференциальных операторов соответствующую задачу рассмотрел Цирулик [229]. Дифференциальный результант оказывается плодотворным и эффективным понятием также и для нелинейных алгебраических дифференциальных уравнений и линейных уравнений с частными производными. Заметим, что Лузин [165] фактически применял понятие диффе-
74
Примечания к гл. 1
ренциального результанта при рассмотрении классической задачи дифференциальной геометрии об изгибании поверхностей на главном основании, а также при изучении систем автоматического управления [166]. При этом он опирался на работы (Janet [329], Riquier [393]). Отметим также диссертацию Я. Б. Лопатинского [164]. Здесь много интересных проблем, все еще ждущих своего решения, но их рассмотрение выходит за рамки настоящего исследования. Отметим, что популяризации введенного автором совместно с Цируликом [82] понятия дифференциального результанта способствовала книга (Zwillinger [418]). Обобщение на случай линейных уравнений с частными производными от п переменных было дано в работе (Carra-Ferro [289]), а на нелинейные ОДУ — в работе (Berkovich [258]).
