Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
3. Под влиянием работ автора [21, 32] были выполнены диссертации Цирулика [229], Мохамеда Стиль Камары [187] и ряд других. А на основе работы [32] Улитиным в [225] построен численный итерационный алгоритм факторизации дифференциальных операторов, примененный в механике. Возможность осуществления факторизации уравнений с частными производными реализована в работе автора [30].
4. Schwarz F. [400] дал алгоритм факторизации дифференциальных уравнений гг-го порядка, основанный на методах, изложенных в (Schlesinger [398]). Он реализован в пакете LODEF с использованием системы REDUCE. Факторизация проводится над полем рациональных функций от х, причем коэффициентами этих рациональных функций являются конкретные рациональные числа. Алгоритм состоит в последовательном отщеплении дифференциального оператора 1-го порядка справа или слева.
5. Под руководством автора была разработана на языке REDUCE алгоритмическая процедура SOLDE для факторизации дифференциальных операторов 2-го порядка с коэффициентами весьма общего вида, содержащих параметры (Беркович, Гердт, Костова и Нечаевский [67], Berkovich L., Berkovich F. [268, 269]). Факторизация осуществляется не только над полем рациональных функций, но и над произвольным основным дифференциальным полем, а также над некоторым его алгебраическим расширением, а именно над радикальным расширением (Беркович [47]). Это позволяет значительно расширить круг интегрируемых уравнений.
6. Заметим, что известный алгоритм Ковачича (Kovacic [338]) позволяет находить решения ЛОДУ 2-го порядка только с рациональными коэффициентами.
Теорема. (Kovacic [338], см. также Дэвенпорт, Сире и Турньё [120]). Существует алгоритм, который для данного ЛОДУ-2 у" + ay' + by = О, где a ub — рациональные функции от х,
либо находит два лиувиллевых решения, таких, что любое решение является линейной комбинацией этих решений с постоянными коэффициентами,
Примечания к гл. 1
75
либо доказывает, что лиувиллевых решений (кроме нуля) не существует.
Ковачич показал, что может быть четыре разных случая решения данного уравнения:
1) Имеется решение вида J fdx, где / — рациональная функция. В этом случае дифференциальный оператор факторизуется, и мы получаем уравнение первого порядка, решения которого лиувиллевы.
2) Первый случай не выполняется, но имеется решение вида ехр( J fdx), где / удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными функциями в качестве коэффициентов. В этом случае дифференциальный оператор факторизуется, и мы получим уравнение 1-го порядка, решения которого всегда лиувиллевы.
3) Два первых случая не выполняются, но имеется ненулевое лиу-виллево решение. В этом случае любое решение является алгебраической функцией.
4) Никакое ненулевое решение не является лиувиллевым.
7. Заметим, что Мордухай-Болтовской [185,186] предложил свой метод интегрирования ЛОДУ. Однако при рассмотрении уравнения
(х2 - Ъх + 2)У - 2у = О,
общее решение которого представляет рациональную функцию, он допустил вычислительную ошибку, обнаруженную Латышевой [163]. На основании этой, а также других вычислительных ошибок и опечаток, имеющих место в [186], она назвала метод Мордухая-Болтовского «неудобным для практики и не всегда приводящим к верному решению уравнения». В действительности это не так (см. работу автора [24]). Данное уравнение есть специальный случай уравнения Лиувилля (см. гл. 2). В конце гл. 2 при нахождении решений упомянутого уравнения, а также ряда других уравнений использованы алгоритм автора и программа SOLDE.
Краткое изложение метода факторизации см. в работе (Беркович, Неча-евский, Сеницкий [72]). Метод факторизации применим к решению краевых задач для линейных ОДУ (см. Владимиров [99]).
Глава 2
Родственные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
«Любая вещь переходит из любой вещи, и любая вещь становится любой вещью, и любая вещь возвращается в любую вещь, ибо то, что есть в стихиях, сделано из этих стихий».
Анаксагор
Куммер (1834 г.) (см. Kummer [339]) и Лиувилль (1837 г.) (см. Liouville [353]) поставили задачу о приведении ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами к ЛОДУ 2-го порядка наперёд заданного вида, иными словами, задачу об эквивалентности ЛОДУ 2-го порядка. Помимо чисто теоретического интереса, она имеет большое прикладное значение, ибо от того, удастся ли преобразовать данное уравнение к известному виду, интегрируемому в квадратурах или в специальных функциях (в терминах ли-увиллевых или эйлеровых расширений), зависит конструктивное решение многих фундаментальных задач естествознания и техники.
Уже Куммер, при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнений, показал, что задача допускает решение для ряда локальных замен переменных. Этот результат в той или иной мере используется в геометрической (качественной) теории ЛОДУ (см., например, Арнольд [9]).
Решение задачи Куммера для глобальных преобразований дано в работах (Boruvka [277], Борувка [91]), а для локальных преобразований — автором [32, 38] (см. также настоящую главу). При этом автор особое внимание уделяет эффективному нахождению преобразований.
