Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
5. Присоединённые нелинейные уравнения
5.1. Нелинейные уравнения, присоединённые к (ао(ж))
Задача приведения уравнения (а0(х)) к виду (±&і, бо), как это следует из п. 3, даёт нелинейные уравнения
2
1 - (1)
1иГ_ 2 и
!(?") ~\Su2 = ао(х), {t,x}
hst'2
v" + a0v - Ь0Ьг 2v~3( / V 2dx)
0,
(2)
(3)
уравнение (Е)-(4.1), а также линейное уравнение множителя преобразования KJl
v" + a0v - b0u2(x)v = 0. (4)
Лемма 1. Уравнение (1) и уравнение типа (E)
a0v
1
Sv
0
(4-І1)
связаны подстановкой и = v 2, и, следовательно, решения и(х) уравнения (1) в зависимости от S могут быть выражены формулами:
ujx) = (Cx1V2 + РіУі)~1(а2У2 + /Згш)-1, S = (Cx1P2 - Cx2P1)2 > 0;
и2(х) = (Ay2 + By2yi + Cy2)"1, S = B2- AAC < 0;
U3(X) = (CXy2TPy1Y2, 5 = 0;
и4(х) = Уіг(ау2 + /Зуі)_1, S = а2 > 0
U5(x) = УЇ2, S = O,
где уь у2 = J/1 J V1^dX образуют ФСР (базис) уравнения (а0).
90
Глава 2
Лемма 2. Базис уравнения (4) можно представить выражениями
«1,2 = M-1/2exp(±i&i j udx), Ъг ф 0, (5)
Vi = \и\
-1/2
«2 = IuI 1^2 / wcfe, Ъ\ = 0.
(6)
• Формулы (5) непосредственно следуют из того факта, что (4) есть уравнение для множителя преобразования КЛ. А если Ъ\ = 0, то (4) заведомо имеет решение v\ = |и|-1/2 и допускает факторизацию
(V + a)(V - a)v =(V-\^)(V +~)v = 0, откуда
V2 = ехр( / adx) / ехр(—2 / adx)dx = \и\ 1^2 / udx
т. е. придём к (6). •
Лемма 3. Уравнение (3) имеет семейства решений, определяемые формулами (5), где и(х) удовлетворяет (Y) и, следовательно, вычисляется согласно лемме 1.
Лемма 4. Решение уравнения КШ-3 (2) (новая независимая переменная t) выражается в конечном виде в терминах решений уравнения (ао) :
ti(x) = I ui(x)dx
1 m аіу-2 + ?iyi
/Ti а2у2 + ?iV\
К,
ti[x) = / u2(x)dx
arctg
2Ay2 + Вуї
із(х) = / us(x)dx
Уі
а(ау2 +?yi
+ К,
U(x)= u4(x)dx=Un
ay2 + ?yi
ts(x) = / us(x)dx = \ Vi dx,p
Vi
2,
¦к,
K,
где yi, У2 = yi J У2 2dx — базис уравнения (ао), K = const.
5. Присоединённые нелинейные уравнения 91
Тогда
-2u-1U[u2JV(u-1)] = и'" + АА0и' + 2A0u.
5.2. Нелинейные уравнения, присоединённые к (щ, ао)
Задача приведения уравнения (аі, ао) к виду (±&і, бо), согласно теореме 3.1, приводит к уравнениям (4.5), (3.9), (3.10), уравнению
{t,x}-\5{t'f = А0{х), (8)
а также к линейному уравнению множителя преобразования KJI
v" + a\v' + a0v — b0u2(x)v = 0. (9)
Лемма 5. Базис пространства решений уравнения (9) можно представить в виде
«1,2 = |м|-1^2 ехр(—і J a\dx) exp(±i&i J udx)7 ЬіфО, (10) vi = |u|-1/2 ехр(—і У aidx), «2 = |u|-1/2 ехр(—і J a\dx) j udx. (11)
Предложение 1. (Вариант принципа нелинейной суперпозиции для уравнения (1)). Общее решение уравнения (1) можно представить в виде
з з
""1^ = І ee^".71. Cl-AC1C3 = S^O, (7)
J = I J=I
и"1 = ел у! + СІ2У2У1 + Сізу2 — частные решения (1),
ел, Cj2, Cj3 — фиксированные значения постоянных Cj, j = 1, 2, 3, отвечающих частному решению щ, Д — определитель вида (4.8), Сц — алгебраическое дополнение элемента сц в Д.
• Формула (7) тотчас следует из соотношения (4.7) и связи между частными решениями уравнений (1) и (4.1 щ1 = v2. •
Предложение 2. Пусть
Iu" 3 fu'Y
92
Глава 2
• Обобщение леммы 2. Например, формулы (11) легко получаются, если использовать факторизацию уравнения (9) вида
(P -^ + hl){V + 1« + = О.-
Теорема 1. Решения присоединённных нелинейных уравнений (3.5), (8), (3.9) и (3.10) представлены в таблицах 5, 6.
• Зная решения нелинейных уравнений, присоединённых к [clq), нетрудно получить решения нелинейных уравнений, присоединённых к (а\,ао). Пусть требуется, например, найти решения уравнения (3.5). Согласно лемме 1 получим u\(x) = (Ot1Y2 + /ЗіY1)-1 (a2Y2 + /Зг^і)-1, где Y1, Y2 образуют базис уравнения Y" + A0Y = 0. Но Y]. = ехр(1/2 J a1dx)yk, где у к — решения уравнения (ai, ао). Тогда
U1 = ЄХр(- / 01^)(012/2+/312/1)^4^22/2+/322/1)-1,
Для получения решений уравнения (8), а также (3.9) и (3.10), нужно знать выражения для интегралов Jv,k(x)dx. Легко показывается, что они имеют тот же вид, что и в лемме 4. Для нахождения решений уравнения (3.10) пользуемся также леммой 5 (формулой (10)). •
6. Решение задачи Куммера
Лемма 1 (Сауіеу (см. Беркович [38])).
1. Производная Шварца от сложной функции вычисляется по формуле
Щт),х} = {і,т}т?+{т,х}. (1)
2. Производная Шварца от обратной функции удовлетворяет соотношению
{x,t} = -{t,x}x2. (2)
• 1. Вычислим производные t по X до 3-го порядка включительно:
t'(x) = і'(т)т'(х), t"{x) = і'{т)т"(х) + і"{т)т'2{х),
t"'(x) = і'(т)т"'{х)+Ш"(т)т'(х)т"(х)+і"'(т)т'г{х), откуда легко следует (1).
6. Решение задачи Куммера
93
2. Рассмотрим композицию функций xotox = x(t(x)). Согласно формуле (1), будем иметь {х Ot1X} = {х, t}t'2 + {t, х} = 0, откуда получим (2). •
Лемма 2. Множество обратных функций к решениям уравнения (5.8) удовлетворяют уравнению
