Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
7.2. Условия коммутативности одной пары операторов 2-го и 3-го порядков
Пусть даны операторы
(L — \)у = О, (M — р)у = 0, А, р = const
(1)
F(X,/х) = 0 (F(L7M)=O)
(2)
L = V2+и, M = V3 +3A2V + A3, и = и(х), А2 = А2(х), А3 = А3(х).
(3)
7. условия коммутативности двух дифференциальных операторов .
49
Лемма 1. Для того чтобы пара операторов (3) была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1
¦ Cl,
I»'
' C2,
ci, C2 = const,
и"' + бии' + 12cm' = 0.
(4) (5)
• Доказывается простым счётом. •
Уравнение (5) есть так называемое стационарное уравнение Кортеве-га-де Фриза (СКдФ).
Теорема 2. (см. также Burchnall, Chaundy [287], Дубровин, Кричевер, Новиков [119]).
Для того чтобы (3) была коммутативной парой, необходимо, чтобы между спектральными параметрами Xu р системы (1), где L, M удовлетворяют (3), выполнялось алгебраическое соотношение
Ap =4А -52А-53, 52,9з= const
(6)
(соответственно между LuM выполнялось соотношение AM2 = AL3 — -92L- д3).
• Для доказательства используем как дифференциальный результант, так и дифференциальный алгоритм Евклида. В соответствии с этим ниже приводятся два способа доказательства.
1) Совместность переопределённой системы
у" + (и- Х)у = 0, у"' + ЗА2у' + (A3 - р)у = 0,
(7)
где A2 и A3 удовлетворяют соотношениям (4), (5), означает, что ПРез(? — A, M — р) = 0, где L и M выражаются согласно (3), т. е.
1 0
0 1
0 0
1 0 0 1
4-А 0 1
2и'
и — Х 0
; + Зеї -и' + с2-ц
и" и' и — Х
I и" 4
0
Зеї
с2-р
Введём новую функцию v = и+2с\ и обозначим 2ci+A Тогда уравнения (5) и (8) примут соответственно вид
Vі" + 6w' = 0,
0. (8)
: A, p — C2 = fi.
(9)
50
Глава 1
Из (9) находим первые интегралы
v" + Зг>2 = 52,
^v'2 + v3 = g2v - 2д3.
(H)
Подставив (11) в (10), придём к алгебраической кривой (6).
2) Применим правый дифференциальный алгоритм Евклида для опера-
имеют те же значения, что и в 1). Имеем последовательно: M = QL + S, где Q = V, S = (1/2+ A)D-1/4V-р. Далее (l/2v + X)2L = QiS +Sb где
Qi = (1/2 + X)V + (—1/4г/ + Д), а Si удовлетворяет (10). Следовательно, вновь придём к эллиптической кривой (6). •
Предложение 1. Для пары (3) система (Y) имеет следующий явный
вид:
у" - (2р(х) + Х)у = 0, у"'-Ър(х)у'-(^р'(х)+р\у = 0. (12)
• Решением уравнения (11) и, следовательно, (9) является v = —2р(х), где р(х) — эллиптическая функция Вейерштрасса. Тогда и = —2р(х) — 2с\,
о
а потому коэффициенты (4) примут вид A2 = —р(х), A3 = — ^р'(х) + с2, откуда придём к (12).«
7.3. Уравнение КдФ
Как известно (см., например, Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский [127], Лаке [160]), уравнение КдФ (нестационарное) можно представить в виде коммутационного соотношения L = \L,M], где L, M удовлетворяют (3). При этом предполагается, что и = u(x,t). Таким образом, КдФ можно записать в виде
Найдём так называемое односолитонное решение уравнения (14). Подстановка ^ = X — et приводит его к СКдФ вида + бии^ + си^ = 0, отличающемуся от (5) только выражением для коэффициента в последнем слагаемом. Поэтому уравнение (14) допускает решение типа бегущей волны и(х — ct) = —2р(х — ct) — А односолитонное решение, удовлетворяющее
начальным условиям и(х) = —2^SeCh2 ~^-~qx; t = 0, таково: u(x,t) = = —2qsech2V—q(x — Aq) = — c/2sech2 ^J—c/2(x — ct).
+ V — X. Здесь v, X и p
щ = и"' + 6мм' + 12сіи', Ci ф 0,
III \ г I г\
Ut = и + 6мм , Cl = U.
(13) (14)
7. условия коммутативности двух дифференциальных операторов ... 51
Таблица 1.
L
V2 - 2р(х) - 2ci
V3 -3p(x)V-±p'(x)+c2
р{х)
V2 - —
2ci
Х>3 - 3-х>-
C2
Ж X
Ъ2--^— + Ц-2С1 sin xjqx •->
Vі- 3
sin^ у^Ж 3 3q\/q cos ^/дж sin3 фцх
Sill у/дЖ
C2
V2-
2q 2q
cos у/дж
- 2ci
D3 — З
cos2 у/дж З cos3 у/дж
-l\v-
cos у/дж
C2
2q 2q
ch s/—qx
- 2ci
2?3-3
ch2 ф—qx 3
3g\/—5sn *J—qx
-l\V-
ch2 у7—<?ж
ch \J—qx
C2
2?2
2g 2g
sh s/^qx
2ci
D3 + 3
sh2 ф—qx 3 3^-/-9 ch у/^дж
D-
sh2 у7—<?ж
shd
-дж
¦ C2
В табл. 1 представлены коммутативные операторы 2-го и 3-го порядков, включающие как общий, так и вырожденные случаи.
52
Глава 1
7.4. Модифицированное уравнение КдФ (МКдФ)
Ещё один класс эволюционных уравнений получится, если применить преобразование «корня» факторизации оператора і = T)2+и. Представим L в виде L = (T) + а)(Т> — а), где а удовлетворяет уравнению Риккати
и = —а1 — а2. (15)
Предложение 2. Уравнение (13) преобразованием (15) приводится к
виду
at = а"' - 6а V + VIc1Ci . (16)
• Непосредственная подстановка даёт нелинейное уравнение 4-го порядка, допускающее факторизацию (T) + 2а) (at — а"' + 6а2а' — Y2c\ar) = = 0, откуда следует (16). •
Уравнение (16) называется МКдФ. А (15) часто называют преобразованием Миуры (Miura [371]). Его можно также называть преобразованием Риккати и преобразованием «корня» факторизации.
