Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что используемое преобразование Куммера- Лиувилля (КЛ) является наиболее общим преобразованием, сохраняющим линейность и порядок уравнений (Stackel [404]; Lie, Engel [352]). Решение задачи эквивалентности Куммера как раз и состояло в нахождении всего соответствующего множества преобразований КЛ.
1. Преобразование Куммера -Лиувилля и постановка задачи Куммера 77
Обратим внимание на следующее обстоятельство: задача Куммера оказалась связанной с сопутствующими нелинейными уравнениями (Ермакова и Куммера-Шварца), для которых справедлив тот или иной принцип нелинейной суперпозиции. Таким образом, оказалось, что вопросы о преобразовании линейных уравнений невозможно решать без привлечения нелинейных уравнений. Заманчиво выглядит следующий способ размножения интегрируемых уравнений. Чтобы прийти к интересующему случаю, нужно взять подходящее уравнение и применить к нему наудачу соответствующую замену переменных. Но основная трудность при интегрировании как раз и состоит в нахождении удачных замен. Поэтому упомянутый способ носит эвристический и, следовательно, малоэффективный характер.
В этой главе представлен регулярный способ (один из возможных) преодоления указанного препятствия. Показано, как можно строить двусторонние последовательности линейных уравнений, исходя из одного порождающего уравнения (семейства родственных линейных уравнений). Образованы также последовательности сопутствующих нелинейных уравнений. При этом большое внимание уделяется алгоритмичной стороне проблемы интегрируемости. Установлено, что полученные последовательности уравнений интегрируются в терминах (на языке) порождающего уравнения.
В этой же главе используется и другой тип преобразования, а именно известное под названием преобразования Дарбу. Однако, как выяснил автор, справедливо его называть преобразованием Эйлера-Имшенецкого -Дарбу (ЭИД). Оно широко применяется в физике, особенно при изучении уравнения Шрёдингера.
Рассматривается также известный способ размножения интегрируемых уравнений, основанный на указанном преобразовании. Это делается не только с целью сопоставления двух важнейших процедур генерирования семейств родственных уравнений, но и для выявления связи между преобразованиями KJl и ЭИД, которая устанавливается впервые.
1. Преобразование Куммера-Лиувилля и постановка задачи Куммера
Пусть даны уравнения
где Ъг Є C1^j), bo Є C(j) — вещественные функции от t; г и j — открытые (конечные или бесконечные) интервалы. Найти множество всех преобразо-
где сії Є С1
Ly = у" + аг(х)у' + а0(х)у = О, (г), ао Є С (і) — вещественные функции от х,
Mz = z + bi(t)z + bo(t)z = О,
(2)
78 Глава 2
ваний T = (f(t),x(t)), где
/: j^R, f Є C2U), /(і)фО,
x:j^R, x(j)=i, xeC2(j), ф) = ^фО, tej, так, что решения у(х) и z(t) уравнений (1) и (2) связаны соотношениями
z(t) = f(t)y{x(t)), dx = (f{t)dt. (3)
Уравнения (1) и (2) глобально преобразуются друг в друга подстановкой Г, если (3) выполняется на полных интервалах г и j.
Если соотношение (3) выполняется лишь локально, то и уравнения (1) и (2) локально преобразуются друг в друга.
В данной главе будет в основном использоваться локальная преобразуемо сть.
Вместо T будем, как правило, использовать обратное к нему преобразование X = (v(x),t(x)), где
V : і -> R, VG С2(і), V ф О,
t: г -> R, t(i) =j, t Є С3(і), и{х) = ф 0, х Є і
и выполняется соотношение у(х) = v(x)z(J u(x)dx). Подстановке X соответствует замена переменных
у = v(x)z, dt = u(x)dx. (4)
Преобразование X (как и Г) будем называть преобразованием Куммера-Лиувилля (КЛ), а функции v(x), t(x) и и(х) — множителем (амплитудой), преобразователем (параметризацией) и ядром преобразования X соответственно. Аналогично функции f(t), x(t) и ip(t) являются множителем (амплитудой), преобразователем (параметаризацией) и ядром преобразования T соответственно.
Локальная (как и глобальная) преобразуемость уравнений обладает отношением эквивалентности. При этом (1) эквивалентно любому наперёд заданному уравнению (2); например, колебательное уравнение может быть преобразовано в неколебательное и наоборот.
При изучении локальной преобразуемости в качестве коэффициентов уравнения (2) наряду с вещественными функциями допускаются также ком-плекснозначные функции.
2. условия приведения к наперед заданному виду 79
2. Условия приведения к наперед заданному виду
2.1. Основные понятия
Лемма 1. Для того чтобы (1.1) приводилось к (1.2) преобразованием (1.4), необходимо и достаточно, чтобы выполнялась факторизация через дифференциальные операторы (в общем случае — некоммутативные) первого порядка:
Ly=([V-^-%- r2(t)u) ri(t)u)y = 0, (1)
где r\(t) и r2 (і) удовлетворяют соответственно уравнениям Риккати
fi+rf+b^n+boit) =0, (2)
г2 -т\- bi(t)r2 + oi (і) - b0(t) = 0. (3)
(1.4)
• Пусть (1.1)->(1-2). Согласно теореме Мамманы о существовании
факторизации (теорема 1.8.1), уравнение (1.2) допускает факторизацию:
Mz=(Vt-r2(t))(Vt-n(t))z = 0, ^t = J-. (1.2і)
