Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что трансцендентное расширение может совпадать с алгебраическим расширением.
Пример 2. Пусть (1) допускает факторизацию в F0(a), где а' = —а\а, причём:
L = [D — Г2 ехр(— / a\dx) + cl\][D — п ехр(— / a\dx)], п,2 = ±г. (2)
L = D2+ CIiD + а0, ai, а0 Є F0
I 2
а =—а — ciia — ао-
10. Факторизация операторов ... 67
Здесь факторизация выполняется в трансцендентном лиувиллевом расширении, состоящем в присоединении экспоненты интеграла от элемента поля F0. В то же время (2) приводит к соотношению ао = ехр(—2 J a\dx). Но это означает, что факторизация происходит в алгебраическом (квадратичном) расширении поля F0, а именно в і7о(у/оо):
L= (v-r2V^-lal^j (P-riyfed, ri,2 = ±i. (3)
Пример 3. Пусть дан оператор (соответствует Камке [139], уравнение 2.80)
L = V2+(jJ^?-j)V+J^?> / = Л«). /3,7 = const,
коэффициенты которого принадлежат полю Fo с образующим элементом /. Он допускает факторизацию в расширении Fo(^f2 + ?) типа (3):
L= \V-T2^-JL=-^+ \ Ъ-т1у/-—-1= \ ,
V л/P + ? f f2 + ?j\ Vf^+?J
r\ = -l, к = 1;2.
В примерах 2 и 3 для получения факторизации использовались радикалы от элемента поля Fo.
Элемент д называется радикалом, если дш = / Є Fo, то Є N. Радикал является частным случаем экспоненты интеграла: д = f1/™1 =
= exp (щ J Ydxj , а потому он одновременно и алгебраичен над Fo, и
трансцендентен (является квадратурой) над Fo.
10.2. Факторизация оператора Ламе
Как известно, уравнение Ламе имеет вид:
у" - (2р(х) + Х)у = 0, А = р(є), (4)
где р(х) — эллиптическая функция Вейерштрасса.
Поскольку нелинейное дифференциальное уравнение
а'2 = Aa3 - д2а - д3, д2,д3 = const,
68 Глава 1
определяющее а' в виде алгебраической функции от а, позволяет найти а = р(х + с), с — параметр, как обращение эллиптического интеграла
(Aa3 - д2а - g3)~1/2da,
то функции р(х) и р'(х) параметризуют эллиптическую кривую
ц2 = 4j/3 -52^ - Аз-Факторизация оператора Ламе
L = V2- 2р(х) - р(е) (5)
впервые была проведена в (Burchnall, Chaundy [287]) и может быть представлена в следующих двух основных формах:
L = [V + ((X ± є) - С(х) т ((є)} [V - ((X ± є) + С(х) ± ((є)] (6)
в соответствии с выбором знаков «+» и «—». Общее решение уравнения (4) имеет вид:
У = с1а-^е-<^+с/А^е«Ф, стух) стух)
где С(х) и а(х) соответственно дзета- и сигма-функции Вейерштрасса. Поскольку р(х), С(х), а(х) удовлетворяют соотношениям
р(х) = -с(х), ах) = ?ь<т(Х) = ?,
то факторизация оператора Ламе (5) допускается в Л. Р. Л поля Fq, представляющем присоединение интеграла от р(х). Однако в силу теоремы сложения
С(х + S)- С(х)- C(S) = \^Щ
2 Р(х) - р(є)
факторизация (6) осуществляется в самом поле Fq, порождённом функцией р(х).
Уравнение (4) есть частный случай уравнения Штурма-Лиувилля, а также уравнения Шрёдингера (с потенциалом 2р(х)).
Вырожденные случаи уравнения Ламе представлены в табл. 2.
11. Факторизация и интегрирование уравнения Альфана ... 69
2 р(х) - р(а)
,2 , 1 Р'(х) - Р'(а)^ , 1р'(х)-р'(а)
L2 = V2 + ^ " - + і - - "7 - 2р(* + а) - р(х) =
2 PW - PW 4 PW - PW
= [D + C(x + a + ?)-C(x)-C(a)- C(?)} [D-C(x + a + ?) + C(x + a) + ((/3)].
Факторизация вырожденных случаев уравнения Альфана, а также соответствующие ФСР представлены в табл. 3.
11.2. Общая собственная функция системы Ламе-Альфана
Под системой Ламе-Альфана будем понимать систему уравнений
у" - (2р(х) + Х)у = 0, Х = р(а), (2)
у"' - Ър(х)у' - (^р'(х) + pjy = 0, р= |р'(а).
(3)
Ранее она уже встречалась: см. (7.12).
Теорема 1. Система (2), (3) совместна, общая собственная функция ф(х,Х,р) = ф(х,а) представлена в табл. 4, включающей также и вырожденные случаи.
11. Факторизация и интегрирование уравнения Альфана и системы Ламе-Альфана
11.1. Уравнение Альфана
Известно, что уравнение Альфана:
Uy = у"' - Зр(х)у' - l[?p'(x) +1^Jy = O, P = \р'(а) (1) имеет общее решение
у = „/О*+ ") с-хс(со + c/(x + ?)c-xa?) + C3^ItO6-XCW1
а(х)а(а) a(x)a(?) а(х)а(^/) '
где p{a)+p(?)+p(^/) = 0; р(а), p(?), p{pf) суть корни характеристического уравнения р'2(х) — р2(а) = 0.
Уравнение (1) допускает факторизацию L3 = L2Li, где
L1=V-C(X + ^+ С(х) + ({a) = V ¦
70
Глава 1
Напомним, что совместность системы (2), (3) выражает условие коммутативности соответствующей пары дифференциальных операторов 2-го и 3-го порядков (см. предложение 7.1). Что касается выражений для собственных функций, то они находятся в табл. 2, 3.
Таблица 2
Уравнение
факгоричация
Решения
х)" - (-2qrorpch2 sf~~[v + Х)у = О Л = -qcth2 sf~Tii, q < О
Ь = [D + V=« etil 4/=4(3- ± ?)-
— V —<ї cth V —<гх T V7A] х X [D - V=« "tli V=«(x ± ?) + + V=« <*,h V=«x ± Ул]
sh V=4(x ± €) VI.2 = -ah V—7]w-
X pipits- vT)
у" - (2у cq0cc-2 + А)у = О X = -q c-tfr2 ^?, q > О
Ь = [D + ctg v^(x ± O-
- s/4 e-t? V7«3' T V7A] X
X[D- v^ftg V^(x ± C) + + V4ftK V^ ± V7A]
¦іпЛ' ± ?)
Wl.2 - ¦ r- X sin
