Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Ly = (v -ff-I -T2U)(v -^-Г1и)у = 0, (1)
б) через коммутативные операторы 1-го порядка
^2Ly = (> - Й - T2)(iv - Й - Г1)у = 0, (2)
где г\, T2 — корни характеристического уравнения
М(т) = r2±6ir + 60 = 0. (3)
Лемма 1 является специализацией леммы 2.1, а потому в дополнительном доказательстве не нуждается. Заметим только, что в силу постоянства коэффициентов Ь\ и bo уравнения Риккати (2.2) и (2.3) выродились в одно и то же алгебраическое уравнение (3).
3. Приведение к уравнениям с постоянными коэффициентами 83
б) и(х) удовлетворяет уравнению КШ-2
(?) -\5и2 = А0(х), S = b2-Ab0,
I и" 3 f и'"2
(5)
2 и 4
а также уравнению
и"' + &и'и"и-1 + 6и'3и-2 + АА0и' - 2А'0и = 0; (6)
в) множитель v и ядро и преобразования КЛ связаны между собой соотношениями
V = \и\~ 1/2ехр(-1/2 / aidx)exp(l/2bi / udx), (7)
v" + a\v' + Ci0V — b0u2v = 0; (8)
г) V удовлетворяет нелинейным уравнениям
v" + ci\v' + Ci0V — b0v~3 exp(—2 j ci\dx) = 0, b\ = 0, (9)
X X
v" + ci\v' + a0v — b0v~3exp(—2 ja\dx)\b\ jv~2exp(— ja\dx)dx]~2 = 0
д) функция
(10)
R(x) = exp(— j a\dx)u 1 (11)
является резольвентой (1.1) и удовлетворяет уравнению
R'" + 3U1R" + (Aa0 + а\ + 2al)R' + (2а'0 + Aa0U1)R = 0. (12)
• а) Изучению групповых свойств линейных уравнений 2-го порядка будет посвящен п. 8. Здесь же потребуется учесть следующее: приводимость
Теорема 1. Уравнение (а\(х);ао(х)) приводится к (±bi;b0) посредством преобразования KJI тогда и только тогда, когда для и, v выполняются следующие условия:
а) уравнение (1.1) допускает однопараметрическую группу Ли с генератором
X = -3- + ^-V—- (А)
идх uvydy' {)
84
Глава 2
уравнения (1.1) означает существование однопараметрической группы G с инфинитезимальным оператором
X = ax,y)?+V(x,y)-^, (13)
оставляющим инвариантным уравнение (1.1). Но из теории С. Ли следует, что преобразование переменных, осуществляющее редукцию к уравнению с постоянными коэффициентами, можно получить, исходя из системы
dx - dy -dt. (14)
?(х,у) т)(х,у)
Сопоставляя (14) с преобразованием КЛ, получим ? = и~г, r\ = v'W-1V-1J/; б) Уравнение (5) есть специальный случай уравнения (2.10), где Bq =
= bo — jb2 = — I/46. В то же время и(х) удовлетворяет и уравнению (6), так
как (5) является по отношению к нему первым интегралом. Действительно, (6) можно представить в виде
Iu6Vu
Iu" 3 / U' \ ' Ix 2 л
2-й-I i - i -~Su -4)
0,
где выражение, стоящее в квадратных скобках, соответствует (5);
в) Соотношения (7) и (8) — специальные случаи соотношений (2.6) и (2.5) соответственно;
г) Уравнения (9) и (10) — специальные случаи уравнений (2.8) и (2.9) соответственно;
д) Прямым подсчётом можно убедиться в том, что нелинейное уравнение (6) линеаризуется подстановкой (11) и приводится к (12).1 В справедливости этого утверждения можно удостовериться и следующим образом.
Известно, что общее решение уравнения (12) представимо в виде у = = С\у\ + С2У1У2 + Сзу|, где J/1,2/2 — линейно независимые решения уравнения (1.1), а Сі, С2, Сз — произвольные постоянные. В силу приводимости (1.1) к (±61; &о) имеем
2/1,2 = |и|-1^2 ехр(—і j mdx ± j udx), (15)
откуда 2/12/2 = M-1 ехр(— Ja\dx), что совпадает с (11). •
'Вопрос о связи уравнения резольвенты R'" + 4(</(ж) + X)R' + 2q'R = 0 с теорией преобразования уравнения Штурма - Лиувилля у" + [q(x) + А] у = 0 был поставлен в работе (Гельфанд, Дикий [104]).
3. Приведение к уравнениям с постоянными коэффициентами
85
Наряду с формулами (15) существуют и другие формулы для фундаментальной системы решений (ФСР.), или общего решения уравнения (1.1).
Предложение 1. Общее решение уравнения (1.1) можно представить любым из следующих способов:
С\ exp(ri J udx) + C2 exp(f2 J udx), ri, Г2 — простые характеристические корни (3); exp(ro Judx)(C\ + Ci J udx), г і = r2 = го — кратные корни (3); exp(7J* udx)[Acos(uj J udx) + В sm(uj J udx)}, r\fl = 7 ± icj — комплексные корни (3);
/Л X
Ci exp(— J udx) + C2 exp(—- J udx), S > 0;
^У ^ j Ci cos(^-~— cos(f udx))+C2 sin(-^-^ sm(fudx)), S<0;
{ Ci+ C2 J udx, S = O.
(17)
• 1). Исходя из факторизации (1) или (2), согласно теореме 1.8.4, получим формулы (16).
2) В силу формулы (7), а также значений характеристических корней
П,2 = Ттт і -тт^> факторизацию (1) представим в виде
/-ті і и' . і і Vs и і и' , і ^ Vs Л „
(V - --- + -ai ± -Tr-U)(X» + -— + -ai T = 0'
откуда следуют формулы (17).«
Пример 1. Дано уравнение у" + (±т2х — 5/16х~2)у = 0. Привести его к виду z ± ITi2Z = 0. (Другой подход см. в п. 1.9.2).
Искомое преобразование KJI в силу теоремы 1 определяется формулами
V = \и\~1/2, v" + {±т2х - 5/16x~2)v ± W2U2V = 0,
1 и" 3/И'\2 і / і 2\ 2 і 2 5-2
2~1Г-4(й") + (±т)и =±тх-—х ,
которые удовлетворяются, если взять и = л/ж, V = ж-1/4. Факторизация исходного уравнения примет вид
(X - T2V^ - ^)(P - п Vi + j-)y = о,
