Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Вместо заключения: Открытый вопрос
В данной работе был описан класс линейных приводимых уравнений (теорема 3.8.1) и решен вопрос о нахождении линейного принципа суперпозиции для линейных приводимых уравнений (см. предложения 3.9.1 и 3.9.2).
Был также изучен вопрос о построении класса автономных уравнений
F(y,y',...,y("))=0, (1)
который линеаризуется к виду
Mn = + J2 (f) bkz(n-k) (*) + с = 0, h, с = const. (2)
fe=i ^ '
преобразованиями
У = v{y)z, dt = u(y)dx, (3)
и найден для этого класса соответствующий нелинейный принцип суперпозиции. Упомянутый класс описан в теоремах 5.1.3 и 5.1.4. Открытым остается следующий вопрос:
Найти нелинейные принципы суперпозиции для нелинейных неавтономных уравнений
F(x,y,y',...,y^)=0, (4)
а также построить соответствующие уравнения, которые могут быть линеаризованы к виду (2) обратимыми преобразованиями
y = v(x,y)z, dt = u\(x,y)dx + ui{x,y)dy. (5)
Преобразования (5) охватывают многие важные замены переменных. В соответствии с ними множество (4) разбивается на классы уравнений, линеаризуемых к виду (2).
Ответ на указанный вопрос позволит ответить на другой вопрос, как
проинтегрировать уравнения построенных классов (4) в квадратурах или в терминах ОДУ 1-го порядка?
Литература
Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. M.: Мир, 1987. Пер. с англ.: Ablowitz Mark J., Segur Harvey. Solitons and the inverse scattering Transform. Siam Philadelphia, 1981. [2] Авдонин СМ., Белов B.B., Маслов В.П. Математические аспекты
синтеза вычислительных сред. M.: МИЭМ, 1984. [3] Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. К вопросу о распределении нулей решений линейных дифференциальных уравнений 3-го порядка. Мат. сб., 1960, 5, 475-486.
[4] Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939.
[5] Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.
Андронов A.A., Леонтович М.А., Мандельштам J\i\. К теории адиабатических инвариантов. Андронов A.A., Собр. трудов, M.: Изд-во АН СССР, 1956.
Арнольд В.И. Избранное. M.: Фазис, 1997, с. 690-693. Арнольд В.И. "Жесткие"и "мягкие"математическиемодели (доклад на Всероссийской конф. "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков"), Московский центр непрерывного математического образования, M.: 2000. [9] Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1978. 10] Бабич В.М., Булдырев Л.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. M.: Наука, 1972, Доп. 3, с. 432-434.
Бабич В.M., Лазуткин Б.Ф. О собственных функциях, сосредоточенных вблизи замкнутой геодезической. Проблемы математ. физики, вып. 2, Изд-во ЛГУ, 1967. 12] Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в
математической физике. Успехи Мат. Наук, т. 26, N 2, с. 116-129. 13] Баренблатт Г.И. Комментарии к [152]. А.Н.Колмогоров. Избранные труды, т.1. Математика и механика. M.: Наука, 1985, с. 416^-20.
Литература
425
[14] Баутин H.H. Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл. Ж.Тех. Физ., 1939, т. 9, N 7, с. 601-611.
[15] Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. Стационарные решения уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества при общих предположениях относительно коэффициентов и функции источника. Вестник МГУ, Математика, 1966, N 1, с. 43-51.
[16] Беков A.A. Задача Гильдена-Мещерского. 1. Точные решения. АН Казах. ССР, Астрофиз. ин-т им. В.Г.Фесенкова, Препринт 90-06. Алма-Ата, 1990.
[17] Беков A.A. Интегрируемые случаи и траектории движения в задаче Гильдена-Мещерского. Астрон. Ж., 1989, т. 66, N 1, с. 135-151.
[18] Беков A.A. Нестационарые задачи небесной механики. Докторская диссертация, Астрофизический ин-к им. В.Г.Фесенкова Нац. АН Казахстана, Алма-Ата, 1994.
[19] Белавин В.А., Капица СП., Курдюмов СП. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения. Журнал Выч. Мат. Мат. Физ., 1998, т.38, N 6, с. 885-902.
[20] Беркович Л.М. О линейных дифференциальных операторах п-го порядка, допускающих разложение на коммутивные операторы 1-го порядка. Уч.зап. Казанск. универ., 1964, т. 124, кн.6, с. 37—42.
[21] Беркович Л.М. О факторизации обыкновенных линейных дифференциальных операторов, преобразуемых в операторы с постоянными коэффициентами. Изв. вузов. Матем., 1965, N 4, с. 8-16, ч. 2 - там же, 1967,N 12, с. 3-14.
[22] Беркович Л.М. Метод факторизации дифференциальных операторов и его применение к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Автореферат дис. канд. физ.-мат.н., Урал, ун-т, Свердловск, 1967, 13 с.
[23] Беркович Л.М. О самосопряженных дифференциальных уравнениях четного и нечетного порядков и об одном классе уравнений Эйлера. Известия вузов. Матем., 1969, N 8, с. 3-9.
[24] Беркович Л.М. Об уравнении у" + а$(х)у = 0, допускающем рациональный интеграл. Куйбышев, политех, ин., физ.-мат. сб., 1969, с. 194-199.
