Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
z = ? j ірехр( J fdy)dy, ds = ірдх7 t = т,
где ? есть нормирующий множитель, необходимо и достаточно, чтобы (1) выражалось в виде уравнения
(р3 ехр(/ fdy)y ду f<pexp(ffdy)dy dt
д_ _ (1 _ <PexP(ffdy) dx уУ f^exp(ffdy)dy
' I _ yexp(ffdy) \ dy_ _ У J <pexp(f dy)dy J дх Гі<^
d_
dx
r2<f
У,
правая часть которого представляет некоммутативную факторизацию, или выражалось в виде уравнения
Уехр(/ fdy)y ду J (pexp(f fdy)dy dt
\д_ _ (J__ ехр(/ fdy) \ ду_ _ Vdx \V<P f<pexp(ffdy)dy)dx Г\
\д_ _ (J__ ехр(/ fdy) \ ду _ ^дх \УЧ> Jipexp(fdy)dy) дх П
У,
правая часть которого представляет коммутативную факторизацию, где П., Г2 — корни характеристического уравнения (5).
4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений 409 Лексикографическая форма НЭУ (Y) есть
1P2Vt = Ухх + ЇУІ + Zb1(Pyx + b2ipexp(- J fdy) J ipexp(J fdy)dy.
• Мы применяем лемму 1, формулу
vy <pexp(ffdy)y
1-ТГУ =
f<pexp(ffdy)dy и теорему 5.2.2. •
Пример 1. (Маслов и др., см., например, Авдонин, Белов, Маслов [2], Litvinov, Maslov [359]). Уравнение
ft 1 2 rn\
Vt = - Ухх - 2? (6)
преобразованием z = exp(—y/h) приводится к виду
zt = -hzxx. (7)
Пусть zi(t,x), z2(t,x) — линейно независимые решения (7). Тогда полный интеграл z = C1Z1 + c2z2, где ci, C2 — произвольные постоянные, есть линейный принцип суперпозиции (ЛПС), а формула
-h In
1 лл ( 1 л
eXpi +ехр ,--J0 h
есть НПС для (6), где Ai, X2 — произвольные постоянные, У1(х, t), у2(х, t) — частные решения, а у(х, t) есть полный интеграл (6).
Заметим, что уравнение (6) преобразованием z = exp(—y/h), ds = = \Jllhdx линеаризуется в уравнение Zt = zss.
Примечание 1. В идемпотентном анализе принцип соответствия (в смысле Маслова) является НПС.
4.2. НЭУ п-го порядка3
Лемма 2. Для того чтобы НЭУ
ду „, ду дпу
at =^'(8)
3Другие классы НЭУ (типа высших аналогов КдФ) были построены в работах (Лаке [160], С. Новиков [190]).
410
dz _ dnz dt ~ ds11
E
k=i
Глава 7
n\bkdn~k<
dsn
bk = const,
(9)
подстановкой вида (2), необходимо и достаточно, чтобы (8) могло быть выражено в виде уравнения
ип 1
-у
ду dt
п
к=п
дх
vv . v,uv\ ду
правая часть которого представляет некоммутативную факторизацию, или НЭУ может быть выражено как уравнение
1
-у
ду_ dt
п
fe=l
1д_ _ Щ_ду_ и дх vu дх
¦ г к
правая часть которого представляет коммутативную факторизацию, здесь г к, к = 1, п, — корни характеристического уравнения
E
fc=i
bkTn
0.
(10)
Теорема 2 (Berkovich [263]). Для того чтобы НЭУ (S) преобразовалось подстановкой (2), где
/П2 — 71 + 2 г.
Lp 2п ехр( / fdy)dy, ds = (рдх, t = т,
где ? — нормирующий множитель, к ЛЭУ (9), необходимо и достаточно, чтобы (8) могло быть представлено в виде уравнения
Зп2-п+2
п
Lp 2п
ехр(/ fdy)y
ду
п2 —п Jp 2и
+ 2
ехр(/ fdy)dy
dt
А. _
(
1
п2 — п-{-Lp 2п
2
ехр(/ fdy)
{-{к-
дх
У
\
П2 — 71 +
J Lp 2п
2
ехр(/ fdy)dy
' и
ду_ дх
гки
У,
приводилось к ЛЭУ
4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений
411
правая часть которого представляет некоммутативную факторизацию, или в виде уравнения
п^-п+2
Lp 2п ехр(/ fdy)y ду
та -та+2
dt
J Lp 2™ ехр(/ fdy)dy
(
п
Zc=I
IiL
1P дх
та -та+2
J_ _ у 2п exp(Jfdy)
VP п2-п+2
V 2" exp{jfdy)dyj
ду
дх
- Г к
правая часть которого представляет коммутативную факторизацию, а Гк, к = 1,77, — корни характеристического уравнения (10), или в лексикографической форме
„ду дпу .. , <9™_1«<9« , дп~гу <+> = тг4 + nf(y)-т/ + • • • + nh<f-т + • • • +
г Pu pi^n J Qxn-1 Qx
dt дх%
п2+п-2
дхп
та -та+2
+bnLp 2п ехр(- j fdy) j Lp 2п ехр( / fdy)dy. • Мы применяем лемму 2, формулу
п2-п+2
(11)
1
-у
Lp 2п ехр(/ fdy) у
п2-п+2
Jlp 2п ехр(/ fdy)dy
и теорему 5.1.3. •
Например, общий вид НЭУ порядка п = 3, принадлежащий к классу (8), (11), есть
2
VlZt= УXXX+ -ІІУхУхх + \--[р--g-ї -3Jf-f¦ + / + Iv)Vx +
+Ш'ЛУхх + {}+^)у1\+Ш ір2ух+Ь3ір5/3 ехр(-J fdy) J tp4/3exp(J fdy)dy
(см. также теорему 5.7.2).
412
Глава 7
Теорема 3. Нелинейный принцип суперпозиции.
Пусть zi(s,t),..., zn(s,t) — частные линейно независимые решения (9). Тогда полный интеграл (9) {зависящий от произвольных постоянных) есть
Z = CiZ1(S, І) + ... + CnZn(S, І),
где C1,... ,Cn — произвольные постоянные, и эта формула есть ЛПС. Мы получим НПС для (8), (11) согласно формулам
/п2-п+2 р п
ip 2п ехр( j fdy)dy = ^ckzk(s,t), ds = ipdx, k=l
где ? = const — нормирующий множитель.
Примечания к гл. 7
1. К постановке задачи КПП и некоторых обобщениях.
Работа (Колмогоров, Петровский, Пискунов [152]) была задумана её авторами применительно к биологической задаче: в экологической среде внезапно локально (в некотором очаге) возникает новый тип организмов, обладающий повышенным биологическим потенциалом (лучшая приспосабливаемость к окружающей среде, большая плодовитость) по сравнению с ранее существовавшим. Этот новый тип расселяется по всему пространству, вытесняя старый тип организмов. Уравнение, описывающее динамику популяции, имеет вид
