Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
щ = Duxx +F(u), (1)
где u(x,i) — плотность популяции в точке X в момент t; D — коэффициент диффузии, F(u) — функция локального роста популяции (функция источника), определенная и непрерывно дифференцируемая на конечном интервале, имеющая там один максимум и удовлетворяющая условиям
F(O) = F(I) = 0, F(и) > 0, 0 < и < 1, F'(0) = а > 0, F'(и) < а. (2)
В [152] показано, что произвольные начальные значения, удовлетворяющие соотношениям
0 ^ и(х, 0) ^ 1, и(х, 0) = 0 при X < а и и(х, 0) = 1 при х > Ь, (3)
определяют только одно решение уравнения (1) при t > 0, подчиненное (3) и удовлетворяющее граничным условиям
w(-oo,i)=0, u(+oo7t) = l. (4)
При t —> оо кривая плотности и(х, і) стремится к некоторой предельной кривой. Задача заключается в том, чтобы найти ее, а также предельную минимальную скорость со ее перемещения справа налево.
Будем искать решение уравнения (1), обладающее тем свойством, что при изменении t форма кривой, изображающая зависимость и от х, не меняется. Такое решение имеет вид и(х, t) = u(z), z = X+ ct. Оказывается, что искомая предельная скорость равна
Cq = 2V-Da, причем с —> со, (с ^ Cq)7
(5)
414
Примечания к гл. 7
а предельная форма кривой плотности дается решением ОДУ
du i-^d2u . ттт/ ч d2u со du , 1 j?/ \ n ia\
C°d~z =Dd72+ FM' ИЛИ " D Tz + c~oF^ = °> (?)
удовлетворяющим условиям (4). Как показано в [152], такое решение всегда существует и единственно с точностью до преобразования z' = z + с, не меняющего форму кривой. Но только при с = со мы получим интересующую нас предельную форму кривой. Доказано, что имеет место асимптотическая сходимость к этому решению для достаточно широкого класса начальных задач (1)-(3). Спектр параметра с является сплошным, ограниченным снизу значением со.
В работе (Bramson [278]) дано обобщение этого результата: соответствующее ОДУ имеет вид
v^f- = d^C + F(uv), uv(-oo) = 0, uv(+oo) = 1, dz dzz
где uv(z) — его решение.
Более общее, чем (1), уравнение
с(и)щ = [к(и)их]х + tp(u)
рассматривалось в работе (Бачелис, Меламед [15]). А нелинейное уравнение диффузии
щ = [{D(u)ux]x + F (и)
с коэффициентом диффузии D(и), зависящим от численности популяции, исследовалось в работе (Свирежев, Гагаури, Разжевайкин [215]).
Теоремы существования решения краевых задач и задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений 2-го порядка
щ = a(t, х, и)ихх + b(t, х, и)их + c(t, х, и)
«в целом», т. е. для любого наперед заданного промежутка изменения времени t, установлены в работе (Олейник, Вентцель [198]), а для уравнения
щ = [р(и)]хх
— в работе (Олейник, Калашников, Чжоу-Юй-Линь [199]). Дальнейшее обобщение, касающееся уравнений вида
щ = [(р(и)]хх - ip(и),
рассматривалось А.С.Калашниковым [137].
Примечания к гл. 7
415
Классическая работа [152] послужила также основанием для подходов к (1) с помощью асимптотических и качественных методов.
2. Об уравнении Фишера (КППФ). Fisher [308] предложил нелинейное уравнение диффузии
щ = Duxx + ки(1 - и), (7)
как модель в генетике; здесь скалярная функция и(х, t) удовлетворяет заданным начальным и граничным условиям, а к и D — положительные постоянные. Оно является важным как с исторической, так и педагогической точек зрения. Оно было предложено Фишером (так же как и уравнение с кубической нелинейностью вместо квадратичной в правой части) в качестве детерминистской версии стохастической модели распространения благоприятного гена в некоторой популяции. Если положить t' = st и х' = = у1к/Dx и избавиться от штрихов, то (7) станет
Щ = ихх + и(1-и). (8)
Уравнение КППФ - одно из простейших нелинейных уравнений реакций с диффузией для логистической модели роста популяции, в котором возникает по крайней мере один из интересующих нас типов волн, а именно бегущие волны4. Волновые решения уравнений (7), (8) в сущности являются кинематическими. Основная цель исследования — определить, какое влияние оказывает диффузия на кинематически распространяющиеся волны, т. е. на волны в логистической популяции, наблюдаемые в отсутствии диффузии. Результаты работы [152] могут быть применены к (7),(8). Различными исследователями было доказано существование и вид решений уравнений (7), (8) типа бегущей волны, для которой 0 ^ и ^ 1 (и — вероятность у Фишера), а также определялась скорость распространения таких волн. Поскольку (7) инвариантно относительно замены х —> —х, то скорость может быть как положительной, так и отрицательной. Если решение типа бегущей волны существует, оно может быть записано в форме и(х, t) = = u(z), z = X + et, где с — скорость волны, движущейся в отрицательном направлении оси х (с > 0), a u(z) удовлетворяет ОДУ
Du" - си' + ки(1 -и) = 0, ( ' ) = d/dz. (9)
Более того, для любого начального профиля 0 ^ и(х,0) ^ 1 существует решение уравнения (7), удовлетворяющее граничным условиям (4), которое с ростом t стремится к решению (9) типа бегущей волны, удовлетворяющей (4). Уравнение (9) имеет бесконечное число решений типа бегущих
