Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 109

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 130 >> Следующая


3. Автомодельное решение параболического уравнения

403

ограниченной области {\х\ < Ls/2}: вне ее и = 0 в течение всего времени существования режима с обострением (t Є (0,To)).

Это решение может быть получено методом точной линеаризации (см. гл. 5, п. 4.4, а также работы Берковича [34, 62, 64]). Рассмотрим уравнение

у" + f(y)y'2 ± а2ф(У) = 0.

(5)

Преобразованием

Y

2 / ^ехр(2 / f(y)dy)dy

1/2

2 / фехр(2 / f(y)dy)dy

dt = фехр(j f(y)dy) оно приводится к линейному виду

Y ± a2Y = 0, ( • ) = Л)dt. Уравнение (5) имеет первые интегралы:

-1/2

dx

у" =а\Ст1 / ^ехр(2 / f(y)dy)dy) ехр(-2 / f(y)dy)

и, кроме того, допускает однопараметрические решения

(6)

(7)

(8)

ехр( / f(y)dy)

-1/2

If . CJ /2 1 1-а

У + уУ +у - цУ

2 J ^ехР(2 J f(y)dy)dy В наших обозначениях автономное уравнение (3) имеет вид

0.

(10) есть частный случай уравнения (5) при

/Ы = §, Ф(у) = у-г\у1~а-

Формула (9) принимает вид

,,(?7-2)/2/ 2

dy = ±у+а2х + С. (9)

(10)

а(а + 2)

-^-jya)-1/2dy = ±ix + C, а ф 0, -1, -2. (11)

404

Глава 7

Подынтегральное выражение относится к дифференциальному биному

ут(а + Ьуп)Чу. (12)

Согласно известной теореме П. Л. Чебышева дифференциальные биномы интегрируются в конечном виде тогда и только тогда, когда выполняется один из трех случаев:

l°.pGZ; 2°. HL+IeZ

„о m + 1 п m

р Є Z.

(13)

В данном примере та = (ст — 2)/2, п = а, р = —1/2, т. е. выполняется случай 3° :

та + 1 —й— +Р:

:^ + i)/^-i = o.

Представим интеграл (11) в виде

2

-1/2

-1

У

и применим подстановку:

ст(ст + 2)'

-г = -

Отсюда

dy =

Ct(Ct+ 2)

ст(ст + 2)

ст(ст + 2)

-1/а

У

ст+1

ст + 1

dy

-1/2

ст + 1

-I/o

-1/<х

-1/(T-I

Тогда интеграл (14) примет вид

z - Vct + 1

In-

z+Vct+1

ст + 1

+ —-—ix + С, Vct+ 1

z 3dz.

откуда

z = VctTT-

1 + Сехр( —^=x) 1-Сехр( іег ж)

(14)

(15)

(16)

3. Автомодельное решение параболического уравнения

В этом случае

Г<7(<7 + 2)-|-1/т

У-

о-(о- + 2) 2(о-+1)

Пусть C=I. Тогда

-I/o

-1

1 + Сехр(-^:г) 1-Сехр(

v° + i

і -

г+О+1)

-I/o-

у -

Q-(Q- + 2)

2((7+1)

-I/o

1-Сехр( —^=x) 1 + Сехр( —J==a;)

4exp(^g—X)

'V^+l

1 + ехр(

-i/0

Формулу (17) можно преобразовать:

У =

~2(o¦^
_.
I/o-

-1)

ст(а -
Ь2)_




' 2(о



а (а

Y

ехр(-

-_х) + ехр(

1/а

2 у/с7+1 7

COS

2 (T

2V^7TT

что соответствует формуле (4). Пусть С = — 1. Получим

2/ =

2(ст + 1)

ст(ст + 2)

1/а

1/а

Vx 2^о~+1 ) Предложение 1. (Беркович [62]). Уравнение (10):

406

Глава 7

1) преобразованием Y = ya+1 I 2

сг(сг + 2)У су+ V

dt

1 - hr*

0-(0- + 2)

y-

линеаризуется:

Y+ Y = O, {-)=d/dt; 2) допускает первые интегралы:

у» = а\Су-2° + j, - + 1 )]

<т(<7 + 2) сг + 1

и, кроме того,

3) имеет однопараметрические семейства решений:

-_dx

(20)

2(V+ 1)

2(<г + 1)

сг(сг + 2)

сг(сг + 2)

1/а

cos2(—-ж + г) , о->-1, (21)

4 2^Th7T

1/а

С/'2(2у/-а-1а: + С)) ' СТ< _1' (СТ^"2); (22)

4) особые случаи получаются при <т = — 1 и а = —2: а) а = —1, уравнение

y"-pz + y + y=o

преобразованием

Y = \[2^Jlny + у, dt

1 + у

уДу/Іпу + у

-dx

приводится к линейному виду (20) и имеет первые интегралы у'2 = = [с + 2(Ыу + у)}у2;

б) а = — 2, уравнение

у"-1у'2 + у + \уг = о

4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений 407 преобразованием

Y = \/—у~2 + Iny, dt = -^—=!+A==dx

V'-у~2 + lny

приводится к линейному виду (20) и имеет первые интегралы у'2 = = [ст{-у-2 + \ъу)]уА.

4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений

4.1. Нелинейное эволюционное уравнение (НЭУ) второго порядка Лемма !.Для того чтобы НЭУ второго порядка

ду dt

дх' дх2 подстановкой вида

у = v(y)z, ds = и(у)дх, т = t приводилось к линейному эволюционному уравнению (ЛЭУ)

d2z

dz dt

ds2

¦2h^ + b2z, ds

(3)

необходимо и достаточно, чтобы (1) было выражено, как уравнение

и2[ 1

dy dt

dx

dy_ и I dx

r2u

dx v dx

(4)

правая часть которого представляет некоммутативную факторизацию, или выражено, как уравнение

dy_ dt

ld_

и dx

vy_dy_

VUQx

- T2

id_

u dx

Vy_dy_ VUQx

Ті У

правая часть которого представляет коммутативную факторизацию; здесь г\,г2 — корни характеристического уравнения

г2 + 2Ъ\г + Ъ2

0.

(5)

408

Глава 7

• Мы применяем подстановку (2) к (4). Получим выражение u2v(ds — — r-2){ds — ri)z, правая часть которого соответствует правой части уравнения (3). Мы преобразуем левую часть уравнения (4). Т.к. y(t,x) = = v(y(t,x))z(t, s), мы получим

dz dt

1

ду dt'

Отсюда левая часть уравнения (4) преобразуется в выражение u2v^. В качестве следствия мы получим ЛЭУ (3). •

Теорема 1 (Berkovich [263]). Для того чтобы НЭУ (Y) приводилось к линейному уравнению (3) подстановкой
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed