Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
3. Автомодельное решение параболического уравнения
403
ограниченной области {\х\ < Ls/2}: вне ее и = 0 в течение всего времени существования режима с обострением (t Є (0,To)).
Это решение может быть получено методом точной линеаризации (см. гл. 5, п. 4.4, а также работы Берковича [34, 62, 64]). Рассмотрим уравнение
у" + f(y)y'2 ± а2ф(У) = 0.
(5)
Преобразованием
Y
2 / ^ехр(2 / f(y)dy)dy
1/2
2 / фехр(2 / f(y)dy)dy
dt = фехр(j f(y)dy) оно приводится к линейному виду
Y ± a2Y = 0, ( • ) = Л)dt. Уравнение (5) имеет первые интегралы:
-1/2
dx
у" =а\Ст1 / ^ехр(2 / f(y)dy)dy) ехр(-2 / f(y)dy)
и, кроме того, допускает однопараметрические решения
(6)
(7)
(8)
ехр( / f(y)dy)
-1/2
If . CJ /2 1 1-а
У + уУ +у - цУ
2 J ^ехР(2 J f(y)dy)dy В наших обозначениях автономное уравнение (3) имеет вид
0.
(10) есть частный случай уравнения (5) при
/Ы = §, Ф(у) = у-г\у1~а-
Формула (9) принимает вид
,,(?7-2)/2/ 2
dy = ±у+а2х + С. (9)
(10)
а(а + 2)
-^-jya)-1/2dy = ±ix + C, а ф 0, -1, -2. (11)
404
Глава 7
Подынтегральное выражение относится к дифференциальному биному
ут(а + Ьуп)Чу. (12)
Согласно известной теореме П. Л. Чебышева дифференциальные биномы интегрируются в конечном виде тогда и только тогда, когда выполняется один из трех случаев:
l°.pGZ; 2°. HL+IeZ
„о m + 1 п m
р Є Z.
(13)
В данном примере та = (ст — 2)/2, п = а, р = —1/2, т. е. выполняется случай 3° :
та + 1 —й— +Р:
:^ + i)/^-i = o.
Представим интеграл (11) в виде
2
-1/2
-1
У
и применим подстановку:
ст(ст + 2)'
-г = -
Отсюда
dy =
Ct(Ct+ 2)
ст(ст + 2)
ст(ст + 2)
-1/а
У
ст+1
ст + 1
dy
-1/2
ст + 1
-I/o
-1/<х
-1/(T-I
Тогда интеграл (14) примет вид
z - Vct + 1
In-
z+Vct+1
ст + 1
+ —-—ix + С, Vct+ 1
z 3dz.
откуда
z = VctTT-
1 + Сехр( —^=x) 1-Сехр( іег ж)
(14)
(15)
(16)
3. Автомодельное решение параболического уравнения
В этом случае
Г<7(<7 + 2)-|-1/т
У-
о-(о- + 2) 2(о-+1)
Пусть C=I. Тогда
-I/o
-1
1 + Сехр(-^:г) 1-Сехр(
v° + i
і -
г+О+1)
-I/o-
у -
Q-(Q- + 2)
2((7+1)
-I/o
1-Сехр( —^=x) 1 + Сехр( —J==a;)
4exp(^g—X)
'V^+l
1 + ехр(
-i/0
Формулу (17) можно преобразовать:
У =
~2(o¦^
_.
I/o-
-1)
ст(а -
Ь2)_
' 2(о
а (а
Y
ехр(-
-_х) + ехр(
1/а
2 у/с7+1 7
COS
2 (T
2V^7TT
что соответствует формуле (4). Пусть С = — 1. Получим
2/ =
2(ст + 1)
ст(ст + 2)
1/а
1/а
Vx 2^о~+1 ) Предложение 1. (Беркович [62]). Уравнение (10):
406
Глава 7
1) преобразованием Y = ya+1 I 2
сг(сг + 2)У су+ V
dt
1 - hr*
0-(0- + 2)
y-
линеаризуется:
Y+ Y = O, {-)=d/dt; 2) допускает первые интегралы:
у» = а\Су-2° + j, - + 1 )]
<т(<7 + 2) сг + 1
и, кроме того,
3) имеет однопараметрические семейства решений:
-_dx
(20)
2(V+ 1)
2(<г + 1)
сг(сг + 2)
сг(сг + 2)
1/а
cos2(—-ж + г) , о->-1, (21)
4 2^Th7T
1/а
С/'2(2у/-а-1а: + С)) ' СТ< _1' (СТ^"2); (22)
4) особые случаи получаются при <т = — 1 и а = —2: а) а = —1, уравнение
y"-pz + y + y=o
преобразованием
Y = \[2^Jlny + у, dt
1 + у
уДу/Іпу + у
-dx
приводится к линейному виду (20) и имеет первые интегралы у'2 = = [с + 2(Ыу + у)}у2;
б) а = — 2, уравнение
у"-1у'2 + у + \уг = о
4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений 407 преобразованием
Y = \/—у~2 + Iny, dt = -^—=!+A==dx
V'-у~2 + lny
приводится к линейному виду (20) и имеет первые интегралы у'2 = = [ст{-у-2 + \ъу)]уА.
4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений
4.1. Нелинейное эволюционное уравнение (НЭУ) второго порядка Лемма !.Для того чтобы НЭУ второго порядка
ду dt
дх' дх2 подстановкой вида
у = v(y)z, ds = и(у)дх, т = t приводилось к линейному эволюционному уравнению (ЛЭУ)
d2z
dz dt
ds2
¦2h^ + b2z, ds
(3)
необходимо и достаточно, чтобы (1) было выражено, как уравнение
и2[ 1
dy dt
dx
dy_ и I dx
r2u
dx v dx
(4)
правая часть которого представляет некоммутативную факторизацию, или выражено, как уравнение
dy_ dt
ld_
и dx
vy_dy_
VUQx
- T2
id_
u dx
Vy_dy_ VUQx
Ті У
правая часть которого представляет коммутативную факторизацию; здесь г\,г2 — корни характеристического уравнения
г2 + 2Ъ\г + Ъ2
0.
(5)
408
Глава 7
• Мы применяем подстановку (2) к (4). Получим выражение u2v(ds — — r-2){ds — ri)z, правая часть которого соответствует правой части уравнения (3). Мы преобразуем левую часть уравнения (4). Т.к. y(t,x) = = v(y(t,x))z(t, s), мы получим
dz dt
1
ду dt'
Отсюда левая часть уравнения (4) преобразуется в выражение u2v^. В качестве следствия мы получим ЛЭУ (3). •
Теорема 1 (Berkovich [263]). Для того чтобы НЭУ (Y) приводилось к линейному уравнению (3) подстановкой