Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
2г2—Г\
и"'(т) - (n + т2)и''(т) + T1T2U + sn ri = О, 0 < п < r2, (19)
а также «логистические» уравнения и'(т) — r\u ± киГ2/Гг = 0, (s = у^к2) инвариантны относительно преобразования KJI вида
и= ЄГ1Т,Є(Г2-Г1)Т + ^r1-V2 z d^= _Л--
е(га-п)г + с
• Проверяется непосредственно. •
Отметим, что указанным свойством не обладают полулинейные уравнения Семенова и Зельдовича.
Полулинейное уравнение (6) играет важную роль и в самой математике, являясь уравнением для множителя преобразования (18) в задаче Куммера преобразования в себя линейного ОДУ 2-го порядка
и"(т) + Ъги'(т) + Ъ0и(т) = 0. (20)
Теорема 7 (Беркович [50]). Для того чтобы уравнение (20) подстановкой (18) приводилось в себя, необходимо и достаточно:
1 h"d) 3,V(T)2 l22 I2
27^y¦- ІЇ-Цт)) +(bo--^b1)H =60-461, (21)
Дт) = |/г(т)Г1/2ехр(_І6іт)ехр(І6і J h(T)dT), (22)
причем /(т) и h(r) связаны также следующим ОДУ
Г(т) + ЬгГ(т) + 60/(т) - boh2(r)f(r) = 0. (23)
Теорема 8. Множитель /(г) преобразования KJI (18) удовлетворяет уравнению (6).
400
Глава 7
• Действительно, в силу теоремы 7 уравнение КПІ-2 (21) примет вид lft"(r) 3 fh'(T)\2 1,
2 ft(r) 4V/i(r)
) -|(ri -T2)2Z12 = -I(ri-r2)2, (211)
Дт) = |/і(^)Г1/2 exp[l/2(n + r2)r] exp[-l/2(n + r2) / ft(r)dr]. (221)
Из теор. 2.5.1 (табл. 6) следует, что уравнение (211) может иметь следующие решения:
H1(T) = е(гі+Г2)г(аіЄГ2Т + ?1eriTy1(a2er2T + ?2eriT)-1 =
Jr2-T1)T
= --.-:--.-:-, S1 = (cti?2 - a2?i) = (ri - T2) > 0,
(aie(r2"ri)T + /3i)(a2e(r2-ri)T + ?2)
h2(t) = e(ri+r2)T(Ae2r2T+Be(ri+r2)T+Ce2riTy\S2 = В2-ЫС = (T1-T2)2 < 0, h3(t) = e2rT(aerT + ?ierTT)-2 = (a + ?r)-2, S3 = 0, n = T2 ф 0;
_ Jr\+r2)T -T1T , T2T і Or1T-,-! _ Є(Г2 Гі)т
U4 (rj) = е^1+Г2^е-Г1Т(аеГ2Т + ?eriT)
^T2-T1)T
¦/з
/15(?;) = const, <5 = 0. Для наших целей подходит Zi4 (/;). Найдем выражение для f(t):
f(t) = е-(Г2-Г1)/2т(е(Г2-Г1>т + с)1/2е(Г1+Г2)/2тх
е(г2-п)т +с
X exp -(n + г2)/2
егіг(е(г2-п)г +с)1/2 ехр
Tl + T2
ln(e(^-n)r +с)
2(г2 - ri)
= еГ1Т(е(Г2_Г1)т -)- с)1^2(е^Г2~Г1-)т + с)_(гі+Г2)/(2(Г2_гі)) =
р(г-з-гі)
епт^(г2-п)т
T1
+ с)~Г2-Г1
OJT2-T1)T _|_ с
2.5. Краевые задачи для уравнений Семенова и Зельдовича
Изложенный метод позволяет по-новому эффективно решить ряд известных краевых задач для уравнений КПП, Семенова и Зельдовича.
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений .
401
Теорема 9. Пусть дано уравнение Семенова (1), (3).
1) (см. Маслов, Данилов, Волосов [178], с. 193, теорема 3.1). Если соответствующее полулинейное уравнение есть (8), то однофазное решение при краевых условиях
Ulx^-oo —> 1(0), и\х^+О0 —> 0(1) (24)
имеет вид
и(х, t) = с ^ ет > т = ах + bt, a2 = ^, Ь = q — ^; (25)
2) (см. [178], с. 196, теорема 3.3). Существует однофазное решение при краевых условиях
q
и|ж^-оо—> ai(0), и|ж^+оо —> 0(ai), ai = - < 1, (26)
имеющее вид
,2
"(^*) = і + с6т' т = ax + bt, а2 = |-, 6 = A(2p-q). (27) • 1) См. пример 3.
2) Соответствующее полулинейное уравнение
и + (1 - — )и--+--(1 +-)и -—и = 0
допускает факторизацию
(D + Ци- ^)[D + 1-|и)и = 0
и имеет решение и(т) = ai/(l + сет), что отвечает (27). •
Теорема 10. (см. Маслов, Данилов, Волосов [178], с. 198, теорема 4.1). Пусть дано уравнение Зельдовича (1), (4). Если соответствующее полулинейное уравнение есть (9), то однофазное решение при краевых условиях (24) имеет вид (25) при т = —1/2? ± 1/\/2х.
• Для доказательства можно воспользоваться примером 4 или теоремой 1, из которой следует, что полулинейное уравнение Зельдовича есть частный случай уравнения Семенова (8) при q = 0. •
Заметим, что другой вид нелинейной факторизации использован в работе (Беркович [34]), см. также гл. 5, а систематическому изложению факторизации линейных дифференциальных операторов посвящена монография автора [50], см. также гл. 1-3.
402 ГЛАВА 7
щ = \7(иа\7) + u?, t > 0, X Є RN, где a ^ 0, ? > 1
постоянные.
Локализацию процесса горения в рамках данной модели иллюстрирует автомодельное решение (S-режим) при ? = а + 1, N = 1 в области
(0,T0) X R.
3.1. Автомодельное неограниченное решение
Рассмотрим уравнение
ut = (uaux)x+ua+1, (t>0, xeR1). (1)
В цитированной книге [210] и работе (Галактионов [102]) указано его автомодельное решение вида
u(t,x) = (T0 -t)~1/aes(x), 0<i<T0<oo, XGR1, (2) где вs (х) удовлетворяет ОДУ
(W - K+1 =0. (3)
В цитированных работах приведено следующее решение уравнения (3):
Os(X)
2^ + 1) Cos2(^)'
0-(0- + 2) yL
0, \х\ > Ls/2
1/а
, \х\ < lB/2,
(4)
где Ls = 2тт(а + I)1/2/а — фундаментальная длина 5-режима. Основная особенность этого решения состоит в том,что процесс горения протекает в
3. Автомодельное решение одного квазилинейного параболического уравнения
Особое место в теории нелинейных уравнений занимает круг исследований неограниченных решений, или, как их по-другому называют, режимов с обострением (см. монографию: Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов [210]). Основные модели, на примере которых анализируются особенности режимов с обострением, составляют квазилинейные уравнения теплопроводности и некоторые параболические системы квазилинейных уравнений. В частности, в [210] содержатся результаты исследования эффекта локализации процесса горения в задаче Коши для уравнения со степенной нелинейностью
