Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
параметров[решение уравнепия Гамильтона — Якоби O1 {—^ , q^j =0
находится квадратурами. Но тогда интегрируется в квадратурах и соответствующая система канонических уравнений (теореме Якоби).
Применим сказанное к задаче о двух неподвижных центрах Уравнение Гамильтона — Якоби (4) имеет вид
(-^)2 (?2 - 4с2) + (-^)2 (4с2 -rf) = K - T12) + Щ.
Мы можем разделить переменные, например, полагая
(-^)2 (?2 - 4с2) - 4Ag - = c11
(-|^-)2 (4с2 -rf) + Kr? = -C1.
Тогда находим полный интеграл уравнения (4) в виде
S (6, Ч; C1, c2) = J У * + dl + I У Ej^jE
Теорема Якоби дает теперь явное выражение движения в задаче о двух неподвижных центрах через эллиптические интегралы. Подробное качественное исследование этого движения можно найти в книге Шарлье «Небесная механика» (M.: Наука, 1966.— 628 с).
Другое применение задачи о притяжении двумя неподвижными центрами — это исследование движений с постоянной тягой в поле одного притягивающего центра.
Речь идет о движении материальной точки под действием ньютоновского притяжения неподвижного центра и еще одной силы («тяги»), постоянной по величине и направлению.
232
РЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Эта задача может рассматриваться как предельный случай задачи о притяжении двумя неподвижными центрами. В процессе предельного перехода второй центр удаляется на бесконечность в направлении силы тяги (причем его масса должна расти так, чтобы обеспечить постоянство тяги, т. е. пропорционально квадрату удаления).
Получаюнтийся предельный случай задачи о притяжении двумя неподвижными центрами интегрируется в явном виде (в эллиптических функциях). В этом можно убедиться при помощи предельного перехода или же непосредственно разделяя переменные в задаче о движении с постоянной тягой в поле одного центра.
Координаты, в которых разделяются переменные в этой задаче, получаются предельным переходом из эллиптических координат, когда один из центров удаляется на бесконечность. Они называются параболическими координатами и даются формулами
и = г — х, V = г -\- X
(тяга направлена вдоль оси х).
Описание траекторий движения с постоянной тягой (многие из которых весьма замысловаты) можно найти в книге В. В. Белец-
Рис. 206. Геодезическая КОГО «Очерки O ДВИЖЄНИИ КОСМИЧЄСКИХ ТЄЛ» на трехосном эллипсоиде ^ . fJayKa 1972)
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде *). Здесь помогают эллиптические координаты Якоби A1, X2, X3, которые суть три корня уравнения
Xі X2 X2
ai -f- X O2-J-X а3-}-Л
где X1, х2, х3 — декартовы координаты. Я не буду приводить выкладок, показывающих, что переменные разделяются (их можно найти, например, в «Лекциях по динамике» Якоби), но приведу лишь результат: опишу поведение геодезических.
Поверхности X1 = const, X2 = const, X3 = const суть поверхности второго порядка, называемые софокусными. Одна из них эллипсоид, другая однополостный гиперболоид, третья двуполост-ный. Эллипсоид может вырождаться во внутренность эллипса, однополостный гиперболоид — во внешность эллипса или в часть плоскости между ветвями гиперболы, двуполостный — в часть плоскости вне ветвей гиперболы или в плоскость.
Пусть рассматриваемый эллипсоид — один из эллипсоидов семейства с полуосями а ;> Ъ ^> с. Каждый из трех эллипсов X1 =
*) Задача о геодезических на эллипсоиде и близкая задача об эллипсоидальном бильярде нашли применение в ряде недавних физических работ, связанных с лазерными устройствами.
§ 47. МЕТОД ЯКОБИ—ГАМИЛЬТОНА
233
•= О, X2 = О, X3 = 0 есть замкнутая геодезическая. Геодезическая, выходящая из точек большого эллипса (с полуосями а, Ь) по направлению, близкому к направлению эллипса (рис. 206), касается поочередно двух замкнутых линий пересечения эллипсоида с одно-полостным гиперболоидом нашего семейства К = const *).
Эта геодезическая либо замкнута, либо заполняет кольцо между линиями пересечения всюду плотно. По мере увеличения наклона геодезической, гиперболоиды сжимаются к области «внутри» гиперболы, пересекающей наш эллипсоид в его четырех «точках округления». В предельном случае мы получаем геодезические, проходящие через точки округления (рис. 207).
Интересно отметить, что все геодезические, выходящие из точки округления, снова собираются вместе в противоположной точке округления и все они имеют между двумя точками округления одинаковую длину. Однако только одна из этих геодезических
замкнута: это средний эллипс с полуосями а, с. Если идти вдоль любой другой геодезической, проходящей через точку округления, в любую сторону, то мы будем асимптотически приближаться к этому эллипсу.
Наконец, еще более «круто» пересекающие большой эллипс геодезические (рис. 208) касаются поочередно двух линий пересечения нашего эллипсоида с двуполостным гиперболоидом **). Они заполняют, вообще говоря, всюду плотно кольцо между этими линиями.
Среди таких геодезических выделяется малый эллипс с полуосями Ь, с. Об эллиптических координатах см. также добавление 14.
