Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
«Главная трудность при интегрировании данных дифференциальных уравнений состоит во введении удобных переменных, для разыскания которых нет никакого правила. Поэтому мы должны идти обратным путем и, найдя какую-либо замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успе-
*) Эти линии пересечения софокусных поверхностей являются также линиями кривизны эллипсоида.
**) Являющихся также линиями кривизны.
Рис. 207. Геодезические, выходящие из точек округления
Рис. 208. Геодезические эллипсоида, касающиеся двухполостного гиперболоида
234
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
хом применена» (Якоби К. Лекции по динамике.— M.: ОНТИ, 1936).
Таблица задач, допускающих разделение переменных в сферических, эллиптических и параболических координатах, имеется в § 48 «Механики» Ландау и Лифшица (M.: Физматгиз, 1958).
§ 48. Производящие функции
В этом параграфе строится аппарат производящих функций для несвободных канонических преобразований.
А. Производящая функция S2 (P, q). Пусть g: R2" R2n — каноническое преобразование, g (p. q) = (P, Q). По определению канонического преобразования, дифференциальная 1-форма HaR2":
pdq — PdQ = dS
является полным дифференциалом некоторой функции S (р, q). Каноническое преобразование свободное, если за 2п независимых координат можно принять q, Q. В зтом случае функция S, выраженная через координаты q и Q, называется производящей функцией S1 (q, Q). Зная эту единственную функцию, можно найти все 2п функций, задающих преобразование, из соотношений
„ dSt (g, Q) р _ 3S1 (g, Q) ^ dq ' dQ
Однако далеко не все канонические преобразования — свободные. Например, в случае тождественного преобразования q и Q = = q зависимы. Поэтому тождественное преобразование нельзя задать производящей функцией S1 (q, Q).
Однако можно перейти к производящей функции иного вида посредством преобразования Лежандра. Пусть, например, за независимые локальные координаты в R2" можно принять Р, q
(т. е. отличен от нуля определитель det d^y' ^ = det -q~} ¦ Тогда имеем
pdq — PdQ = dS, pdq + QdP = d (PQ + S).
Величина PQ + S, выраженная через (Р, q), называется также производящей функцией
S2 (P, q) = PQ+S (р, q).
Для этой функции находим
_ 3S9(f1 q) п _ ag, (P1 q) (2
Р ~~ dq ' v — dP к >
Обратно, если S2 (P, q) — произвольная функция, для которой
, . d*S2 (Р, q)
отличен от нуля определитель det —dqdP р ' т0 в окРестно~
§ 48. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
235
/ OS2(P, Q) I \
сти точки Ip0 =-Tj^— Ip ' Qoj можно разрешить первую
группу уравнений (2) относительно JP и получить функции P (р, д) (где P (р0, дв) = JP0). После этого вторая группа уравнений (2) определяет Q (р, д), и отображение (р, д) >->- (JP, Q) — каноническое (докажите!).
Задача. Найти производящую функцию S2 для тождественного отображения Р = р, Q = Q. Ответ. Pq.
Замечание. Производящая функция (Р, q) удобна еще и потому, что в формулах (2) нет минусов, и их легко вспомнить, если помнить, что производящая функция тождественного преобразования есть Pq.
Б. 2п производящих функций. К сожалению, переменные JP, д также не всегда могут быть выбраны за локальные координаты. Однако всегда можно выбрать некоторый набор п новых координат
P1 = (P h, Ph), Q1 = (Oiif . . ., QJnJ
так, что вместе со старыми д мы получим 2п независимых координат.
Здесь (ilt . . ., iK) (/j, . . ., /„-fc) — любое разбиение множества (1, . . ., п) на две непересекающиеся части, так что всего имеется 2" случаев.
Теорема. Пусть g: R2™ R2" — каноническое преобразование, заданное функциями P (р, д), Q (р, д). В окрестности каждой точки (Po, д0) можно принять за независимые координаты в R2" по меньшей мере один из 2™ наборов функций (Pt, Qj, д):
d (P1, Рг q) d (pv р3) ^
В окрестности такой точки можно восстановить каноническое преобразование g по функции
S3(Pi, Qv д) = (Pi, Qi)+ Ipdg-PdQ
из соотношений
_j9Ss (i _ QS3 J3____OS3^ /Ov
P~dq' Уг-дР.' dQ- • W
з
Обратно, если S3 (Pt, Qj, д) — любая функция, для которой отличен от нуля определитель det ^ (JB = Р%, Qj), то со-
отношения (3) задают каноническое преобразование в окрестности точки р0, q0-
Доказательство этой теоремы почти такое же, как проведенное выше в частном случае k = п. Нужно лишь проверить, что для одного из 2" наборов (JPj, Qj, д) отличен от 0 определитель
det НР>' °і> ¦
d (Po, Pj)
236
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Рассмотрим дифференциал нашего преобразования g в точке (р0, д0). Отождествляя касательные пространства к R2™ с R2n, мы можем считать dg сим-плектическим преобразованием S: R2" —> R2n.
Рассмотрим координатную р-плоскость P в R2n (рис. 209). Это нулевая n-мерная плоскость, и ее образ SP — тоже нулевая плоскость. Спроектируем плоскость SP на координатную плоскость о = Up1, Qj)} параллельно остальным координатным осям, т. е. по направлению нулевой n-мерной координатной плоскости u = {(Pj, (/;)}• Обозначим через Т: SP —» о оператор проектирования.
