Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Идея метода Якоби — Гамильтона состоит в следующем. При канонической замене координат сохраняется канопический вид уравнений движения, а также функция Гамильтона (§ 45, А).
Следовательно, если нам удастся найти каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона к такому виду, что канонические уравнения удастся проинтегрировать, то тем самым мы сумеем проинтегрировать и исходные канонические уравнения. Оказывается, задача построения такого канонического преобразования сводится к отысканию достаточно большого числа решений уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. Этому уравнению должна удовлетворять производящая фупкция искомого канонического преобразования.
Переходя к аппарату производящих функций, замечу, что он УДРУчающе неинвариантен и существенно использует координатную структуру в фазовом пространстве {(р, д)}. В соответствии с этим приходится пользоваться аппаратом частных производных, а это такой объект, в самом обозначении которого уже кроется двусмысленность *).
А. Производящая функция. Пусть 2п функций P (р, д), Q (р, д) от 2п переменных р, д задают каноническое преобразование g: R2n ->- R2n. Тогда 1-форма pdq — PdQ есть полный дифференциал (§ 45, А):
pdq-PdQ = dS(:p,q). (1)
Задача. Докажите, что и обратно, если эта форма ¦— полный дифференциал, то преобразование — каноническое.
Предположим теперь, что в окрестности некоторой точки (р0, q0) за независимые координаты можно принять (Q, q). Иными словами, предположим, что отличен от нуля якобиан в (р0, q0)
det 4^4.=det 4^0.
д (р, q) dp ^
*) Следует ясно понять, что величина диїдх на плоскости х, у зависит не только от того, какая функция принята за х, но и от того, какая функция принята за у: в новых переменных (х, z) значение диїдх будет уже другим. Следовало бы писать
ди
дх
ди І » яг І
!Z=COIlSt 1Z=COUSt
§ 47. МЕТОД ЯКОБИ—ГАМИЛЬТОНА
227
Такие канонические преобразования называют свободными. Тогда, в частности, функцию S можно локально выразить через эти координаты:
S (р, Q) = S1 (Q, q).
Определение. Функция S1 (Q, q) называется производящей функцией нашего канонического преобразования g.
Подчеркнем, что S1 не есть функция на фазовом пространстве R2*1: эта функция задана в области прямого произведеїшяТід X X Rq некоторых двух тг-мерных координатных пространств, точки которых обозначаются через q и Q.
Из (1) следует, что «частные производные» ,S1 суть
»S1(Q, Q) OS1(Q, Q) _ 9
8q "' Р' dQ - — W
Оказывается, и обратно, всякая функция S1 задает некоторое каноническое преобразование g по формулам (2).
Теорема. Пусть S1 (Q, q) — функция, заданная в окрестности некоторой точки (Q0, q0) прямого произведения двух п-мер-ных координатных евклидовых пространств. Если
det J^i-I фО, OQ dq ItJ01
то функция S1 является производящей функцией некоторого свободного канонического преобразования.
Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно координат Q
SSi(Q, Q)
dq —IJ-
По теореме о неявной функции это уравнение разрешимо и определяет в окрестности точки (q0, р0 = dSl fp' ^ I \ функцию Q (р, q)
\ OQ 1O0I во/
(причем Q (р0, q0) = O0). Действительно, нужный определи-
j .. O2S1 (О, Q)
тель здесь как раз det —аУі , а он по условию отличен
п OQ OQ Q0, «„' 3
от 0.
Рассмотрим теперь функцию
PAQ, 9) = --§qSx(Q, я),
и положим
Р(р, Q) = PAQ(P, Я), я).
Тогда локальное отображение g: R2Jl ->- R2Jl, переводящее точку (р, q) в точку P (р, q), Q (р, q), будет каноническим с
228
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
производящей функцией S1, ибо по построению
j i> SSi(Q, Q) j , 9S1 (О, q) pdq — PdQ =—xg' dq H--«*Q-
Оно свободно, так как det --- det ( ^*}®' \ фО. Теорема
dp \ dQ dq j ^ *
доказана.
Преобразование g: R2™ ->- R2" задается вообще 2п функциями от 2п переменных. Мы видим, что каноническое преобразование задается всего одной функцией 2п переменных — своей производящей функцией. Легко сообразить, какую выгоду дает применение производящих функций во всех вычислениях, связанных с каноническими преобразованиями. Эта выгода тем больше, чем больше число переменных 2п.
Б. Уравнение Гамильтона—Якоби для производящей функции. Заметим, что канонические уравнения, в которых функция Гамильтона //зависит от одних лишь переменных Q, легко интегрируются. Действительно, если H = K (Q), то канонические уравнения имеют вид
Q = O, Р=-ц , (3)
откуда непосредственно
Qd) = Q(O), j?(t) = P(0) + t^\Qr
Будем теперь искать каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона H (р, q) к виду К (Q). С этой целью будем искать производящую функцию такого преобразования S (Q, q). Мы получаем из (2) условие
H {^Щ^, ^t) = K(Q) (4)
где после дифференцирования вместо q следует подставить q (JP, Q). Заметим, что при фиксированном Q уравнение (4) имеет вид уравнения Гамильтона — Якоби.
Теорема Якоби. Если найдено решение S (Q1 q) уравнения Гамильтона — Якоби (4), зависящее от п параметров Q1 *)