Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 85

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 195 >> Следующая


Идея метода Якоби — Гамильтона состоит в следующем. При канонической замене координат сохраняется канопический вид уравнений движения, а также функция Гамильтона (§ 45, А).

Следовательно, если нам удастся найти каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона к такому виду, что канонические уравнения удастся проинтегрировать, то тем самым мы сумеем проинтегрировать и исходные канонические уравнения. Оказывается, задача построения такого канонического преобразования сводится к отысканию достаточно большого числа решений уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. Этому уравнению должна удовлетворять производящая фупкция искомого канонического преобразования.

Переходя к аппарату производящих функций, замечу, что он УДРУчающе неинвариантен и существенно использует координатную структуру в фазовом пространстве {(р, д)}. В соответствии с этим приходится пользоваться аппаратом частных производных, а это такой объект, в самом обозначении которого уже кроется двусмысленность *).

А. Производящая функция. Пусть 2п функций P (р, д), Q (р, д) от 2п переменных р, д задают каноническое преобразование g: R2n ->- R2n. Тогда 1-форма pdq — PdQ есть полный дифференциал (§ 45, А):

pdq-PdQ = dS(:p,q). (1)

Задача. Докажите, что и обратно, если эта форма ¦— полный дифференциал, то преобразование — каноническое.

Предположим теперь, что в окрестности некоторой точки (р0, q0) за независимые координаты можно принять (Q, q). Иными словами, предположим, что отличен от нуля якобиан в (р0, q0)

det 4^4.=det 4^0.

д (р, q) dp ^

*) Следует ясно понять, что величина диїдх на плоскости х, у зависит не только от того, какая функция принята за х, но и от того, какая функция принята за у: в новых переменных (х, z) значение диїдх будет уже другим. Следовало бы писать

ди

дх

ди І » яг І

!Z=COIlSt 1Z=COUSt

§ 47. МЕТОД ЯКОБИ—ГАМИЛЬТОНА

227

Такие канонические преобразования называют свободными. Тогда, в частности, функцию S можно локально выразить через эти координаты:

S (р, Q) = S1 (Q, q).

Определение. Функция S1 (Q, q) называется производящей функцией нашего канонического преобразования g.

Подчеркнем, что S1 не есть функция на фазовом пространстве R2*1: эта функция задана в области прямого произведеїшяТід X X Rq некоторых двух тг-мерных координатных пространств, точки которых обозначаются через q и Q.

Из (1) следует, что «частные производные» ,S1 суть

»S1(Q, Q) OS1(Q, Q) _ 9

8q "' Р' dQ - — W

Оказывается, и обратно, всякая функция S1 задает некоторое каноническое преобразование g по формулам (2).

Теорема. Пусть S1 (Q, q) — функция, заданная в окрестности некоторой точки (Q0, q0) прямого произведения двух п-мер-ных координатных евклидовых пространств. Если

det J^i-I фО, OQ dq ItJ01

то функция S1 является производящей функцией некоторого свободного канонического преобразования.

Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно координат Q

SSi(Q, Q)

dq —IJ-

По теореме о неявной функции это уравнение разрешимо и определяет в окрестности точки (q0, р0 = dSl fp' ^ I \ функцию Q (р, q)

\ OQ 1O0I во/

(причем Q (р0, q0) = O0). Действительно, нужный определи-

j .. O2S1 (О, Q)

тель здесь как раз det —аУі , а он по условию отличен

п OQ OQ Q0, «„' 3

от 0.

Рассмотрим теперь функцию

PAQ, 9) = --§qSx(Q, я),

и положим

Р(р, Q) = PAQ(P, Я), я).

Тогда локальное отображение g: R2Jl ->- R2Jl, переводящее точку (р, q) в точку P (р, q), Q (р, q), будет каноническим с

228

ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ

производящей функцией S1, ибо по построению

j i> SSi(Q, Q) j , 9S1 (О, q) pdq — PdQ =—xg' dq H--«*Q-

Оно свободно, так как det --- det ( ^*}®' \ фО. Теорема

dp \ dQ dq j ^ *

доказана.

Преобразование g: R2™ ->- R2" задается вообще 2п функциями от 2п переменных. Мы видим, что каноническое преобразование задается всего одной функцией 2п переменных — своей производящей функцией. Легко сообразить, какую выгоду дает применение производящих функций во всех вычислениях, связанных с каноническими преобразованиями. Эта выгода тем больше, чем больше число переменных 2п.

Б. Уравнение Гамильтона—Якоби для производящей функции. Заметим, что канонические уравнения, в которых функция Гамильтона //зависит от одних лишь переменных Q, легко интегрируются. Действительно, если H = K (Q), то канонические уравнения имеют вид

Q = O, Р=-ц , (3)

откуда непосредственно

Qd) = Q(O), j?(t) = P(0) + t^\Qr

Будем теперь искать каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона H (р, q) к виду К (Q). С этой целью будем искать производящую функцию такого преобразования S (Q, q). Мы получаем из (2) условие

H {^Щ^, ^t) = K(Q) (4)

где после дифференцирования вместо q следует подставить q (JP, Q). Заметим, что при фиксированном Q уравнение (4) имеет вид уравнения Гамильтона — Якоби.

Теорема Якоби. Если найдено решение S (Q1 q) уравнения Гамильтона — Якоби (4), зависящее от п параметров Q1 *)
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed