Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
(точку х0 надо сдвинуть на время по траектории первого потока, t2 — второго и т. д.).
Задача 1. Докажите, что построенное отображение g (рис. 211) достаточно малой окрестности V точки О Є Rn задает карту окрестности точки SC0: у каждой точки х0 є M существует такая окрестность U, х0 е є U CZ М, что g отображает V на U диффеоморфно.
Указание. Применить теорему о неявной функции и воспользоваться линейной независимостью полей в точке х0.
Рис. 211. К задаче 1 Рис. 212. K задаче 2
Задача 2. Докажите, что g: Rn —» M есть отображение н а.
Указание. Соедините точку х є JVf с х0 кривой (рис. 212), покройте кривую конечным числом окрестностей U предыдущей задачи и определите t как сумму сдвигов t-ly соответствующих кускам кривой.
Заметим, что отображение g: Rn -v Мп не может быть взаимно однозначным, так как Мп компактно, a Rn нет. Изучим множество прообразов точки х0 ее Af1.
Определение. Стационарной группой точки х0 называется множество Г точек * ее Rn, для которых glx0 = х0.
Задача 3. Докажите, что Г есть подгруппа группы Rn, не зависящая притом от точки х0.
Решение. Если g*x0 = х0, g*x0 = х0, то
ga+tx0 = gsgtx0 = gax0 = x0, g'*x0 = g~*g*x0 = X0.
242
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИИ
Поэтому Г — подгруппа Rn. Если х = grx0, (єГ, то gfx = gt+rx0 = = tfV^o = fxo = x.
Таким образом, стационарная группа Г есть вполне определенная, не зависящая от точки х0 подгруппа группы Rn. В частности, точка t = 0, очевидно, принадлежит Г.
Задача 4. Докажите, что в достаточно малой окрестности V точки J = Oe Rn нет других точек стационарной группы Г, кроме точки t = 0.
Указание. Отображение g: V —> U диффеоморфно.
Задача 5. Докажите, что в окрестности t -f- V (рис. 213) любой точки t =. Г С Rn нет точек стационарной группы Г, отличных от точки t.
Рис. 213. К задаче 5 Рис. 214. Дискретная под- Рис. 215. K доказатель-
группа плоскости ству леммы о дискрет-
ных подгруппах
Таким образом, точки стационарной подгруппы Г лежат в R™ дискретно. Такие подгруппы называются дискретными подгруппами.
Пример. Пусть ег, . . ., ek — к линейно независимых векторов в R", 0 <^ к <^ п. Множество всех их целочисленных линейных комбинаций (рис. 214)
тхех + . . . + тьеь, т, Є Z = (. . . —2, —1, 0, 1, . . .),
F
образует дискретную подгруппу в R". Например, множество всех целых точек на плоскости есть дискретная подгруппа плоскости.
Г. Дискретные подгруппы в R". Мы воспользуемся теперь следующим алгебраическим фактом: приведенным примером исчерпываются все дискретные подгруппы в R". Точнее, будет доказана
Лемма 3. Пусть Г — дискретная подгруппа группы R". Тогда существуют к (0 <^ к ^ п) линейно независимых векторов вц . . ., efc f= Г, таких, что Г есть в точности множество всех их целочисленных линейных комбинаций.
Доказательство. Будем рассматривать в R" какую-нибудь евклидову структуру. Имеем всегда О єе Г. Если Г = = {О}, лемма доказана. Если нет, существует точка е„ єе Г, е0 Ф О (рис. 215). Рассмотрим прямую Re0. Покажем, что на этой прямой существует точка ех, ближайшая к О. Действительно, в шаре радиуса | е„ | с центром в О лишь конечное число точек Г
§ 49. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
243
(у каждой точки Г, как мы видели выше, есть окрестность стандартной величины V, не содержащая других точек Г).
Ближайшая к О из конечного числа точек этого шара, лежащих на прямой Re0, будет ближайшей к О точкой из Г на всей прямой.
На прямой Re0 группе Г принадлежат целые кратные ех (TiIe1, тЄ Z) и только они. Действительно, точки тег делят прямую на части длины Ie1J. Если бы внутри одной из этих частей, (TrW1, (т + 1) ег), была точка е Єг Г, то точка е — Tm1 ЄЕ: Г была бы ближе к О, чем ег.
Если у Г нет точек вне прямой Re1, то лемма доказана. Пусть существует точка е Є Г, еЁ Re1. Покажем, что существует точка е2 єе Г, ближайшая к прямой Re1 (сама не лежащая на прямой). Спроектируем е ортогонально на прямую Re1. Проекция лежит ровно в одном отрезке Л == {Xe1}, т Я< тп + 1. Рассмотрим прямой круговой цилиндр Ц с осью Д и радиусом, равным расстоянию от Д до е. В этом цилиндре лежит конечное (ненулевое) число точек группы Г.
Пусть е2 — ближайшая из них к оси Re1, но не лежащая на оси.
Задача 6. Докажите, что расстояние от любой точки группы Г, не лежащей на оси Re1, до этой оси не меньше, чем расстояние от точки е2 до оси Re1.
Указание. Сдвигом на We1 можно загнать проекцию на ось в отрезок Д.
Целочисленные линейные комбинации ех и е2 образуют решетку в плоскости Re1 + Re2.
Задача 7. Докажите, что никаких других точек подгруппы Г, кроте целочисленных линейных комбинаций C1 и е2, на плоскости Re1 -\- Re2 нет.
Указание. Разделите плоскость на параллелограммы (рис. 216) А = {^e1 + Я2е2}, тг ^ Xi < mi + 1. Если бы е є A, е =/= т^ + т2е2, то точка е — т1е1—то2е2 была бы ближе к Re1, чем е2.
Если у Г [нет точек вне плоскости Re1 + Re2, то лемма доказана. Пусть существует точка еєГ вне этой плоскости. Тогда существует ближайшая к плос- _
