Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
4L=0, -?-= »(!¦). (2)
З а д а ч а. Может ли функция со (J) в (2) быть произвольной?
Решение. В переменных (Z, tp) уравнения потока (2) имеют канонический вид, с функцией Гамильтона Л (J). Следовательно, со (J) = дНІдІ; поэтому, если число степеней свободы п > 2, то функции ш (J) не произвольны, а удовлетворяют условию симметрии duijdlj = da>jldlx.
Переменные действие — угол особенно важны для теории возмущений; в § 52 указано их применение в теории адиабатических инвариантов.
Б. Построение переменных действие—угол в случае одной степени свободы. Система с одной степенью свободы на фазовой плоскости (р, q) задается функцией Гамильтона H (р, q).
1 і
Пример 1. Гармонический осциллятор H = у р2 у q2, или
1 1
общее H = y а2р2 + у b2q2.
Пример 2. Математический маятник H = -у-P2 — cosq.
В обоих случаях имеются компактные замкнутые кривые Mh (H = її), и мы находимся в условии теоремы § 49 при п = 1.
Чтобы построить переменные действие — угол, будем искать каноническое преобразование (р, q) -*- (/, ср), удовлетворяющее двум условиям:
I) I = I (h), 2) (j) aff = 2л. (3)
Задача. Найти переменные действие — угол в случае простейшего
1 , 1
гармонического осциллятора H = -у Jr + "у 52-
Решение. Если г, ф —полярные координаты, то dp/\dq = г2 />2 + q2 = rdr/\d(f = d -у Д dep. Поэтому I=H =-т>-.
Чтобы построить каноническое преобразование р, q >-*¦ I, ср в общем случае, будем искать его производящую функцию S (I, q):
Р = Щ^> 4» = -?^; H(^-,q)=HD- (4)
Предположим сперва, что функция h (I) известна и обратима, так что каждая кривая M11 определяется значением / (Mh =
§ 50. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ 247
•= Mh(I))- Тогда при фиксированном значении / имеем из (4)
dS |j=const = P dq.
Это соотношение определяет на кривой Mi1(I) вполне определенную дифференциальную 1-форму dS.
Интегрируя вдоль кривой Mh(I) эту 1-форму, мы получим (в окрестности точки q0) функцию
ч
S Q) = \pdq.
9»
Эта функция и будет производящей функцией преобразования (4) в окрестности точки (/, q0). Первое из условий (3) выполнено автоматически: / = 1(h). Чтобы удовлетворить второму условию, рассмотрим поведение S (I, q) «в целом».
При обходе замкнутой кривой Mj1(I) интеграл р dq получает приращение
AS (I) = (J) р dq.
Mh(I)
равное площади П, ограниченной кривой Мціу Поэтому функция S — «многозначная функция» на кривой Mh(Iy она определена с точностью до прибавления целого кратного П. На произ-dS (/, д)
водную —д это слагаемое не влияет; но оно приводит к неоднозначности ф = dSldl. Эта производная оказывается определенной лишь с точностью до слагаемого, кратного —jj-AS(I). Точнее говоря, формулы (4) определяют 1-форму dq> на кривой Mh(i), и интеграл этой формы по Mh(I) равен -^j- AS(I).
Чтобы выполнялось второе из наших условий, (J) dq> = 2я,
Mh
нужно, чтобы
-±-AS(I) = 2n,
2я 2я '
где П = (j) pdq — площадь, ограниченная фазовой кривой H = h.
Определение. Переменной действия в одномерной задаче с функцией Гамильтона H (р, q) называется величина
/<*)=ІП(А).
Окончательно мы приходим к следующему выводу. Пусть dH/dh Ф 0. Тогда определена обратная / (h) функция h (I).
248
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ B ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
ч
Теорема. Положим S(I, q) = ^pdq\H=
MD-
Тогда фор->- /, ф, удов-
ії- , =
а о
Итак, для гармонического осцил-
мулы (4) задают каноническое преобразование р, q летворяющее условиям (3).
Итак, переменные действие — угол в одномерном случае построены.
Задача. Найти SuI для гармонического осциллятора. 1 1
Если H = -ту- а2/)2 -|- -Tj- о2д2 (рис. 217), то Mn — эллипс, огра-
ничивающий площадь П {h) ¦¦ -_ 2nh _ 2nh ab io
лятора переменная действия есть отношение энергии к частоте. Угловая переменная ср — это, конечно, фаза колебаний.
Задача. Доказать, что период T движения по закмнутой кривой H = h на фазовой плоскости р, q равен производной площади, ограниченной этой кривой, по h:
Т dn(h) 1 — dh '
Решение. В переменных действие — угол уравнения движения (2) дН I dl \-i „ / йП \-i 2п <га
дают cp = -^-=^j =2n^3A-j . У = -ф-
Рис. 217. Переменная действия для гармонического осциллятора
dh
В. Построение переменных действие — угол в R2". Перейдем теперь к системе с п степенями свободы, заданной в R2rt = {(р, q)} функцией Гамильтона H (р, q) и имеющей п первых интегралов в инволюции F1 = Н, F2, . . ., Fn. Не будем повторять рассуждений, которые привели нас к выбору 2л/ = (j) р dq в одномерном случае, и сразу определим п переменных действия I.
Пусть Yu . . ., Yn — базисные одномерные циклы тора Mf (приращение координаты фі на цикле Yi равно 2л, если і = /, и О, если і Ф /). Положим
W = ^j» Pdq- (5)
Рис. 218. Независимость переменной действия от выбора кривой интегрирования
Задача. Докажите, что этот интеграл не зависит от выбора кривой у$, представляющей базисный цикл (рис. 218). Указание. В§49 показано, что на многообразии Mf 2-форма to2 =
