Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
F1, . . ., Fn; (F1, Fj) = О, i, / = 1, 2, . . ., п.
Рассмотрим множество уровня функций Ft
М{ = {х: F1 (х) = U, ї = 1,..., п}.
Предположим, что на Mt п функций Ft независимы (т. е. п 1-форм dFf линейно независимы в каждой точке Mf). Тогда:
1) Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона H — F1.
2) Если многообразие Mf компактно и связно, то оно диффео-морфно n-мерному тору
Тп = {(«P1, . . ., фп) model 2л.}.
3) Фазовый поток с функцией Гамильтона H определяет на Mt условно-периодическое движение, т. е. в угловых координатах tp = = (Cp1, . . ., срп)
= ю = «(/).
4) Канонические уравнения с функцией Гамильтона H интегрируются в квадратурах.
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим некоторые из ее следствий.
Следствие 1. Если в канонической системе с двумя степенями свободы известен один первый интеграл F1 не зависящий от функции Гамильтона Н, то система интегрируема в квадратурах; компактное связное двумерное подмногообразие фазового пространства H = h, F = / есть инвариантный тор, а движение на нем условно-периодично.
Действительно, FnH находятся в инволюции, так как F — первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н.
В качестве примера с тремя степенями свободы рассмотрим лагранжев тяжелый симметричный волчок, закрепленный в точке на оси. Здесь сразу видны три первых интеграла Н, Mz, M3. Легко проверить, что интегралы M2 и TW3 находятся в инволюции. Далее, многообразие H = h в фазовом пространстве компактно. Поэтому мы без всяких вычислений сразу можем сказать, что при большинстве начальных условий *) движение волчка условно-периодично: фазовые траектории заполняют трехмерные торы H = C1, Mz = с2, M3 = Cg. Соответствующие три частоты называются частотами собственного вращения, прецессии и нутации.
*) Исключение составляют особые множества уровня интегралов, где нарушается их независимость.
240
гл. 10. введение в теорию возмущений
Другие примеры получаются из следующего замечания: если каноническая система интегрируется методом Якоби — Гамильтона, то она имеет п первых интегралов в инволюции.
Действительно, метод состоит в каноническом преобразовании (Pi Q) {Pj О), таком, что Pf — первые интегралы. Но функции Рг, Pj, очевидно, находятся в инволюции.
В частности, сказанное применимо к задаче о притяжении двумя неподвижными центрами. Число примеров легко умножить; фактически сформулированная выше теорема Лиувилля охватывает все проинтегрированные на сегодняшний день проблемы динамики.
Б. Начало доказательства теоремы Лиувилля. Перейдем теперь к доказательству теоремы. Рассмотрим множество уровня интегралов
Mf = {х: F1 = /„ і = 1, . . ., п).
По условию п 1-форм dFt линейно независимы в каждой точке Mf. Следовательно, по теореме о неявной функции, Mf есть n-мерное подмногообразие 2п-мерного фазового пространства.
Лемма 1. На n-мерном многообразии Mf существуют п касательных векторных полей, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке.
Доказательство. Симплектическая структура фазового пространства определяет оператор /, переводящий 1-формы в векторные поля. Этот оператор / переводит 1-форму dFt в поле I dFt фазовой скорости системы с функцией Гамильтона F1-. Покажем, что п полей I dFi касаются Mf, коммутируют и независимы.
Действительно, из независимости dFt и невырожденности изоморфизма / следует независимость / dFt в каждой точке Mf. Поля IdF1 попарно коммутируют, так как скобки Пуассона их функций Гамильтона (Fj, Fj) ~ 0. По той же причине производная функции Fj по направлению поля / dFj равна нулю для любых i,/ = l, . . ., п. Значит, поля / dFt касаются Mf, и лемма 1 доказана.
Заметим, что доказано даже больше чем лемма 1:
1') Многообразие Mf инвариантно относительно каждого из п коммутирующих фазовых потоков gl с функциями Гамильтона Ft; ёЫ = ё)ё\-
1") Многообразие Mf — нулевое (т. е. 2-форма о2 обращается в нуль на TMf\x).
Действительно, п векторов / dFi \х попарно косоортогональны ((Fj, Fj) = 0) и образуют базис в касательной плоскости к многообразию Mf в точке х.
В. Многообразия, на которых транзитивно действует группа R". Теперь мы воспользуемся следующим топологическим предложением (доказательство заканчивается на стр. 244).
49. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
241
Лемма 2. Пусть М™ — компактное, связное дифференцируемое n-мерное многообразие, на котором задано п векторных полей, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке ЛГ\ Тогда многообразие M*1 диффеоморфно n-мерному тору.
Доказательство. Обозначим через g\, і = 1, . . ., п, однопараметрические группы диффеоморфизмов М, соответствующие заданным п векторным полям. Поскольку поля коммутируют, группы gl, g] коммутируют. Поэтому мы можем определить действие g коммутативной группы Rn = {<} на многообразии М, полагая
g': M M, g* = g['. - . g*n (t = (h, ¦.., tn) E= R").
Очевидно, gt+s = g*ga'Vt, s E= Rn. Зафиксируем точку x0 EE M. Тогда возникает отображение
g:Rn->ilf, g(t) = gtx0
