Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
= 2фі Д dqi равна нулю. По формуле Стокса ^ — ^ р dq = ^ dp Д dq = О,
у у о
где da = у — у'.
Определение, п величин I1 (/), заданных формулами (5), называются переменными действия.
§ 50. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
249
Предположим теперь, что при заданных значениях /j п интегралов F1 п величин I1 независимы: det 1 ф^>- Тогда в окрестности тора Mf можно принять переменные I, tp за координаты.
Теорема. Преобразование р, q^ I, tp — каноническое, т. е.
%dpi Д dqt = ^}dli Д гіф,-.
Намечу доказательство этой теоремы. Рассмотрим на Mf дифференциальную 1-форму р dq. Поскольку многообразие Mf — нулевое (§ 49), эта 1-форма на Mf замкнута: ее внешняя производная со2 = dp Д dq на многообразии Mf тождественно равна 0. Поэтому (рис. 219)
X
S(х) = \pdq \Mf
не меняется при деформации пути интегрирования (формула Стокса). Итак, S (х) есть «многозначная функция» на Mf, ее периоды равны
A1S = <§>dS = 2піі.
Рис. 219. Независимость интеграла р dq на Mf от пути
Пусть теперь X0 — такая точка на Mf, в окрестности которой п переменных q служат координатами на Mf, так что подмногообразие Mf CZ R2" задается п уравнениями вида р = р (I, q), q(x0) = q0. В односвязной окрестности точки д0 определена однозначная функция
а
S(I, Я) = SP(Г, q)dq, я,
и мы можем принять ее за производящую функцию канонического преобразования р, q >-*¦ I, tp:
as as
P = W ч = -вт-
Нетрудно проверить, что эти формулы в действительности задают каноническое преобразование не только в окрестности рассматриваемой точки, но и «в целом» в окрестности Mf. При зтом координаты tp будут многозначными с периодами
Д»Фі = Ai 4т- = -§р &is = 2піі = 2я8гі, з з з
что и требовалось.
250
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Заметим теперь, что все наши построения содержат лишь «алгебраические» операции (обращение функций) и «квадратуру» —
вычисление интеграла
Рис. 220. Переменные действие-угол на симплектическом мно* гообразии
известной функции. Таким образом, задача интегрирования канонической системы 2п уравнений, у которых известны п первых интегралов в инволюции, решается в квадратурах, что и доказывает последнее утверждение теоремы Лиувилля (§ 49).
Замечание 1. Уже в одномерном случае переменные действие — угол /, ф определены не однозначно условиями (3). А именно, за переменную действия мон^но было бы принять /' = = / + const, а за угловую переменную ф' = ф + с {I). Замечание 2. Мы построили переменные действие — угол для системы с фазовым пространством R2n. Можно было бы ввести переменные действие — угол и для системы на произвольном симплектическом многообразии. Ограничусь здесь одним простым примером (рис. 220).
Фазовым пространством маятника {н = р2 — cos q*j естественно считать не плоскость {(р, д)}, а поверхность цилиндра R1 X S1, получающуюся при отождествлении углов q, отличающихся целым кратным 2л.
Критические линии уровня H = -М разбивают цилиндр на три части А, В, С, каждая из которых диффеоморфна прямому произведению R1 X S1. В каждой части можно ввести переменные действие — угол.
В ограниченной части (В) замкнутые траектории изображают качание маятника, в неограниченных частях — вращения.
Замечание 3. Как и в разобранном примере, в общем случае уравнения Fi = /,- при некоторых значениях /г перестают быть независимыми, и Mf перестает быть многообразием. Таким критическим значениям / соответствуют сепаратрисы, разделяющие фазовое пространство интегрируемой задачи на части, подобные частям А, В, С выше. В некоторых из этих частей многообразия Mf могут быть неограниченными (части А и С на плоскости {(р, <?)}); другие же расслаиваются на гг-мерные инвариантные торы Mf-, в окрестности такого тора можно ввести переменные действие — угол.
§ 51. Усреднение
В этом параграфе доказывается совпадение временных и пространственных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение.
S 51. УСРЕДНЕНИЕ
251
Рис. 221. Условно-периодическое движение
А. Условно-периодические движения. В предыдущих параграфах нам часто встречалось условно-периодическое движение: фигуры Лиссажу, прецессия, нутация, вращение волчка и т. п.
Определение. Пусть Тп — ге-мерный тор, ф = (ф1, . . ., фп) modd 2л — угловые координаты. Тогда условно-периодическим движением называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов Г" ->- T1, заданная дифференциальными уравнениями (рис. 221)
ф = о, ю = ((O1, . . ., соп) = const.
Эти дифференциальные уравнения немедленно интегрируются:
ср (t) = ф (0) + <ot.
Таким образом/на карте {tp} траектории—прямые линии. Траектория на торе называется обмоткой тора.
Пример. Пусть п = 2. Если O)1Zo)2 = Ii1Ik2, то траектории замкнуты; если O)1/ш2 иррационально, то траектории на торе всюду плотны (см. § 16).
Величины Co1, . . ., соп называются частотами условно-периодического движения. Частоты называются независимыми, когда они линейно независимы над полем рациональных чисел: если к є Z" *) и (к, to) = 0, то к = 0.
