Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Hm
t—yoo
arg
О
1] 1V
Ответ.
ц>1«1 + g>2Qta -|- cq^cc3
л , где а}, а2, а3 — углы треугольника со
сторонами (рис. 223). Если же одно из чисел больше суммы двух других, так что треугольника составить нельзя, то искомая средняя угловая скорость есть <%.
Г. Вырождения. До сих пор мы рассматривали случай, когда частоты со независимы. Целочисленный вектор fcGZ" называется соотношением между частотами, если (к, to) = 0.
Задача. Докажите, что множество всех соотношений между данными частотами to образует подгруппу Г решетки Z™.
Но мы видели в § 49, что такая подгруппа состоит из всех целочисленных линейных комбинаций г независимых векторов к і, 1 ^ г <J п. Мы скажем, что между частотами имеется г (независимых) соотношений **).
*) Лагранж показал, что к подобной задаче сводится исследование среднего движения перигелиев планет. Решение этой задачи можно найти в работах Г. Вейля. Эксцентриситет орбиты Земли меняется как модуль аналогичной суммы. С изменением эксцентриситета связаны, по-видимому, ледниковые периоды.
**) Докажите, что число г не зависит от выбора независимых векторов Щ.
§ 51. УСРЕДНЕНИЕ
255
Задача. Докажите, что замыкание траектории {ср (t) = Cp0 -f- Wt} (на Тп) представляет собой тор размерности п — г, если между частотами Ф имеется г независимых соотношений; в этом случае движение на Тп~г — условно-периодическое, сп — г независимыми частотами.
Вернемся теперь к интегрируемой гамильтоновой системе, заданной в переменных действие — угол I, ср уравнениями
1=0, ф =(й(Т), где to (Г) =4г-
Каждый n-мерный тор Г = const в 2к-мерном фазовом пространстве инвариантен, и движение на нем условно-периодично.
Определение. Система называется невырожденной, если отличен от 0 определитель
det—= det ^2-.
Задача. Докажите, что если система невырождена, то в любой окрестности любой точки имеются условно-периодические движения с п частотами, а также с любым меньшим числом частот.
Указание. Вместо переменных I можно за локальные координаты принять сами частоты и. В пространстве наборов частот множества точек со с любым числом г соотношений (0 ^ г < п) всюду плотны.
Следствие. Если система невырождена, то инвариантные торы I = const определены однозначно, независимо от выбора координат действие — угол I, ср, в построении которых имеется всегда некоторый произвол *).
Действительно, торы і = const можно определить как замыкания фазовых траекторий, соответствующих независимым о.
Замечу кстати, что при большинстве значений T частоты ю будут независимы.
Задача. Докажите, что лебегова мера множества тех I, для которых частоты со (I) в невырожденной системе зависимы, равна 0.
Указание. Сначала докажите, что mes {и: 3fe =f= 0, (со, Ic) = 0} = 0.
Напротив того, в вырожденной системе можно построить такие системы переменных действие — угол, что торы I = const в одной и в другой системе будут разными. Это объясняется тем, что замыкания траекторий вырожденной системы — торы размерности к < п, и их можно по-разному соединять в гг-мерные торы.
Пример 1. Плоский гармонический осциллятор х = —х; п = 2, к = 1. Разделение переменных в декартовых и в полярных координатах приводит к разным переменным действие — угол и разным торам.
*) Например, всегда допустимы замены I' = I, ср' = ср + (Г) или hi 1ъ\ Фи 4?1-* h + h> Фі> Ф2 — Фі-
256
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Пример 2. Кеплерово плоское движение [U---—) » п =
<= 2, к = 1. Здесь также разделение переменных в полярных и в эллиптических координатах приводит к разным I.
§ 52. Усреднение возмущений
Здесь доказана адиабатическая инвариантность переменной действия в системе с одной степенью свободы.
А. Системы, близкие к интегрируемым. Мы рассмотрели выше довольно много интегрируемых систем (одномерные задачи, задача двух тел, малые колебания, случаи Эйлера и Лагранжа движения твердого тела с закрепленной точкой и т. д.). Мы изучили характер фазовых траекторий в этих системах: они оказались «обмотками торов», заполняющими всюду плотно инвариантные торы в фазовом пространстве; каждая траектория распределена на этом торе равномерно.
Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма разнообразными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фазовом пространстве сложные множества размерности больше п; траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением H = h *). Термин «неинтег-рируемые» в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н.
Исследование таких сложных систем еще далеко от завершения; оно составляет задачу «эргодической теории».
Один из подходов к неинтегрируемым системам — изучение систем, близких к интегрируемым. Например, задача о движении планет вокруг Солнца близка к интегрируемой задаче о движении невзаимодействующих точек вокруг неподвижного центра; упомянем еще задачу о движении слегка несимметричного тяжелого волчка и задачу о нелинейных колебаниях вблизи положения равновесия (близкая интегрируемая задача — линейная). При исследовании этих и подобных задач чрезвычайно плодотворен следующий метод.
