Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
кости Re1 + Re2 точка е3 ЄЕ: Г; точки еу ^e1 + m2e2 + т3е3 исчерпывают Г в рис 216 к 8адаче , трехмерном пространстве Re1 + Re2 + Re3. Если Г этим не исчерпана, берем ближайшую точку к этому трехмерному пространству, и т. д.
Задача 8. Докажите, что ближайшая точка каждый раз существует. Указание. Взять ближайшую из конечного числа точек соответствующего «цилиндра» Ц.
244
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИИ
Заметим, что все получаемые векторы elt е2, е3, . . . линейно независимы. Поскольку все они принадлежат R", число их к не больше п.
Задача 9. Покажите, что Г исчерпывается целочисленными линейными комбинациями ех, . . ., ек.
Указание. Плоскость Re1 -(-••• + R^k разбить на параллелепипеды А и показать, что ни в одном А не может быть точек Г. Если есть ех є Г вне плоскости Re1 + ... + Reit, то построение не окончено.
Итак, лемма 3 доказана.
Теперь нетрудно доказать лемму 2: Mf диффеоморфно тору Тп. Рассмотрим прямое произведение к окружностей и п — к прямых:
7* X R" * = {(Ip1, . . ., ср*; уъ . . ., уп^)}, tp modd 2л,
вм есте с естественным отображением р: R" -»- Тн X Rn_,c
P (ф, У) = (ф modd 2л, у).
Точки Z1, . . ., Д 6Rn (ft имеет координаты фг = 2л, ф^ = 0, у = 0) переходят при этом отображении в 0.
Пусть elf . . ., ек E= Г CZ R" — образующие стационарной группы Г (см. лемму 3). Отобразим линейное пространство R" = = {(ф, у)} на пространство R" = {<} так, чтобы векторы ft перешли в е,-. Пусть A: R" ->- Rn — такой изоморфизм.
Заметим теперь, что R" = {(ф, у)} задает карты Тк X Rn_K, a R" = {*} — карты нашего многообразия Mf.
Задача 10. Докажите, что отображение карт A: R" —¦ Rn задает диффеоморфизм A: Т* X Rn_* -» Mf,
Rn = {(4>, у)) -^>Rn = {*}
Ч А I8
T X R"-* —>- Mf
Но так как многообразие Mf по условию компактно, то k = п и Mf есть n-мерный тор. Лемма 2 доказана.
Ввиду леммы 1 доказаны первые два утверждения теоремы.
Одновременно мы построили на Mf угловые координаты ф2, . . ., фп modd 2я.
Задача 11. Показать, что под действием фазового потока с функцией Гамильтона H угловые координаты ср меняются равномерно'.
фі = щ; Ші = COj (/)! ф (O = ф (0) + Ы.
Иными словами, движение на инвариантном торе условно-периодическое.
Указание, q> = А~Ч.
Из всех утверждений теоремы осталось доказать лишь последнее: что система интегрируется в квадратурах.
§ 50. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ—УГОЛ
245
§ 50. Переменные действие — угол
Здесь показано, что в условиях теоремы Лиувилля можно выбрать такие симплектические координаты (I, q>), что первые интегралы JP зависят ^.олько от -Г, а ф — угловые координаты на торе Mj,.
А. Описание переменных действие—угол. В § 49 мы занимались исследованием одного-единственного связного, компактного многообразия уровня интегралов Mf = {х: F (х) = /}; оказалось, что Mf есть n-мерный тор, ивариантный относительно фазового потока. Мы выбрали угловые координаты срг на Mf так, что фазовый поток с функцией Гамильтона H = F1 принимает на Mf особенно простой вид:
dt
«>(/), ч> (*) = ч> (°) + «*•
Рассмотрим теперь окрестность n-мерного многообразия Mf в 2п-мерном фазовом пространстве.
Задача. Докажите, что многообразие имеет окрестность, диф-феоморфную прямому произведению n-мерного тора Тп на шар Dn п-мерного евклидова пространства.
Указание. Принять за координаты функции Fi и построенные выше углы фі- Ввиду линейной независимости dFi, функции Fi и tpj (і = 1, . . ., n) задают диффеоморфизм окрестности на прямое произведение Тп X Dn.
Во введенных координатах (F, tp) фазовый поток с функцией Гамильтона H = F1 записывается в виде особенно простой системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений
^,о, А_В(П (і,
которая немедленно интегрируется: F (t) = F (0), tp (t) = <р(0) + + со (F (0)) L
Таким образом, чтобы явно проинтегрировать исходную каноническую систему дифференциальных уравнений, достаточно в явном виде найти переменные tp. Оказывается, зто можно сделать, используя лишь квадратуры. Такое построение переменных q> приведено ниже.
Заметим, что переменные (F, tp) не являются, вообще говоря, симплектическими координатами. Оказывается, существуют некоторые функции от F, мы обозначим их I = I (F), I = (I1, . . . • . ., In), такие, что переменные (I, tp) уже являются симплектическими координатами: исходная симплектическая структура со8 выражается через них по обычной формуле
со2 = Sd/, Д dxpt.
Переменные I называются переменными действия *) и вместе с угловыми переменными ф они образуют в окрестности MHO-
*) Нетрудно сообразить, что J имеет размерность действия*
246
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ B ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
гообразия Mf систему канонических координат действие — угол.
Величины It являются первыми интегралами системы с функцией Гамильтона H = F1, как функции от первых интегралов Fj. В свою очередь переменные Fi можно выразить через I, и, в частности, H = F1 = H (1). В переменных действие — угол дифференциальные уравнения нашего потока (1) имеют вид