Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 92

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 195 >> Следующая


кости Re1 + Re2 точка е3 ЄЕ: Г; точки еу ^e1 + m2e2 + т3е3 исчерпывают Г в рис 216 к 8адаче , трехмерном пространстве Re1 + Re2 + Re3. Если Г этим не исчерпана, берем ближайшую точку к этому трехмерному пространству, и т. д.

Задача 8. Докажите, что ближайшая точка каждый раз существует. Указание. Взять ближайшую из конечного числа точек соответствующего «цилиндра» Ц.

244

ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИИ

Заметим, что все получаемые векторы elt е2, е3, . . . линейно независимы. Поскольку все они принадлежат R", число их к не больше п.

Задача 9. Покажите, что Г исчерпывается целочисленными линейными комбинациями ех, . . ., ек.

Указание. Плоскость Re1 -(-••• + R^k разбить на параллелепипеды А и показать, что ни в одном А не может быть точек Г. Если есть ех є Г вне плоскости Re1 + ... + Reit, то построение не окончено.

Итак, лемма 3 доказана.

Теперь нетрудно доказать лемму 2: Mf диффеоморфно тору Тп. Рассмотрим прямое произведение к окружностей и п — к прямых:

7* X R" * = {(Ip1, . . ., ср*; уъ . . ., уп^)}, tp modd 2л,

вм есте с естественным отображением р: R" -»- Тн X Rn_,c

P (ф, У) = (ф modd 2л, у).

Точки Z1, . . ., Д 6Rn (ft имеет координаты фг = 2л, ф^ = 0, у = 0) переходят при этом отображении в 0.

Пусть elf . . ., ек E= Г CZ R" — образующие стационарной группы Г (см. лемму 3). Отобразим линейное пространство R" = = {(ф, у)} на пространство R" = {<} так, чтобы векторы ft перешли в е,-. Пусть A: R" ->- Rn — такой изоморфизм.

Заметим теперь, что R" = {(ф, у)} задает карты Тк X Rn_K, a R" = {*} — карты нашего многообразия Mf.

Задача 10. Докажите, что отображение карт A: R" —¦ Rn задает диффеоморфизм A: Т* X Rn_* -» Mf,

Rn = {(4>, у)) -^>Rn = {*}

Ч А I8

T X R"-* —>- Mf

Но так как многообразие Mf по условию компактно, то k = п и Mf есть n-мерный тор. Лемма 2 доказана.

Ввиду леммы 1 доказаны первые два утверждения теоремы.

Одновременно мы построили на Mf угловые координаты ф2, . . ., фп modd 2я.

Задача 11. Показать, что под действием фазового потока с функцией Гамильтона H угловые координаты ср меняются равномерно'.

фі = щ; Ші = COj (/)! ф (O = ф (0) + Ы.

Иными словами, движение на инвариантном торе условно-периодическое.

Указание, q> = А~Ч.

Из всех утверждений теоремы осталось доказать лишь последнее: что система интегрируется в квадратурах.

§ 50. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ—УГОЛ

245

§ 50. Переменные действие — угол

Здесь показано, что в условиях теоремы Лиувилля можно выбрать такие симплектические координаты (I, q>), что первые интегралы JP зависят ^.олько от -Г, а ф — угловые координаты на торе Mj,.

А. Описание переменных действие—угол. В § 49 мы занимались исследованием одного-единственного связного, компактного многообразия уровня интегралов Mf = {х: F (х) = /}; оказалось, что Mf есть n-мерный тор, ивариантный относительно фазового потока. Мы выбрали угловые координаты срг на Mf так, что фазовый поток с функцией Гамильтона H = F1 принимает на Mf особенно простой вид:

dt

«>(/), ч> (*) = ч> (°) + «*•

Рассмотрим теперь окрестность n-мерного многообразия Mf в 2п-мерном фазовом пространстве.

Задача. Докажите, что многообразие имеет окрестность, диф-феоморфную прямому произведению n-мерного тора Тп на шар Dn п-мерного евклидова пространства.

Указание. Принять за координаты функции Fi и построенные выше углы фі- Ввиду линейной независимости dFi, функции Fi и tpj (і = 1, . . ., n) задают диффеоморфизм окрестности на прямое произведение Тп X Dn.

Во введенных координатах (F, tp) фазовый поток с функцией Гамильтона H = F1 записывается в виде особенно простой системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений

^,о, А_В(П (і,

которая немедленно интегрируется: F (t) = F (0), tp (t) = <р(0) + + со (F (0)) L

Таким образом, чтобы явно проинтегрировать исходную каноническую систему дифференциальных уравнений, достаточно в явном виде найти переменные tp. Оказывается, зто можно сделать, используя лишь квадратуры. Такое построение переменных q> приведено ниже.

Заметим, что переменные (F, tp) не являются, вообще говоря, симплектическими координатами. Оказывается, существуют некоторые функции от F, мы обозначим их I = I (F), I = (I1, . . . • . ., In), такие, что переменные (I, tp) уже являются симплектическими координатами: исходная симплектическая структура со8 выражается через них по обычной формуле

со2 = Sd/, Д dxpt.

Переменные I называются переменными действия *) и вместе с угловыми переменными ф они образуют в окрестности MHO-

*) Нетрудно сообразить, что J имеет размерность действия*

246

ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ B ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ

гообразия Mf систему канонических координат действие — угол.

Величины It являются первыми интегралами системы с функцией Гамильтона H = F1, как функции от первых интегралов Fj. В свою очередь переменные Fi можно выразить через I, и, в частности, H = F1 = H (1). В переменных действие — угол дифференциальные уравнения нашего потока (1) имеют вид
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed