Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
и такое, что det Ф и, то канонические уравнения
дН . дН /с;.
* = —5«Г' q=Sp- &
решаются явно в квадратурах. При этом функции Q (р, q), определенные уравнениями -ралами уравнений (5).
OS (О, а)
ленные уравнениями -^ = р, являются п первыми интег-
*) n-параметрическое семейство решений уравнения (4) называется полным интегралом уравнения.
§ 47. МЕТОД ЯКОБИ—ГАМИЛЬТОНА
229
Доказательство. Рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией S (Q, д). Имеем, согласно (2), oS
р = д), откуда находимО (р,д). Вычислим функцию H (р, д)
в новых координатах JP, Q. Имеем Н(р, д) = Н (Q, д), g^j .
Чтобы найти функцию Гамильтона в новых координатах, надо было бы подставить в это выражение (после дифференцирования) вместо д его выражение через PnQ. Однако, согласно (4), это выражение от д вовсе не зависит, так что просто
H (р, q) = K (Q).
Таким образом, в новых переменных уравнения (5) имеют вид (3), откуда непосредственно вытекает теорема Якоби.
Теорема Якоби сводит решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) к отысканию полного интеїрала уравнения в частных производных (4). Может показаться удивительным, что такое сведение более простого к более сложному доставляет эффективный метод решения конкретных задач. Между тем оказывается, что это — самый сильный, из существующих методов точного интегрирования, и многие задачи, решенные Якоби, вообще не поддаются решению другими методами.
В. Примеры. Рассмотрим задачуопри-тяжении двумя неподвижными центрами. Интерес K ЭТОЙ Задаче возрос В ПО- Рис. 204. Эллиптические координаты
следнее время в связи с изучением движения искусственных спутников Земли. Достаточно ясно, что два близких притягивающих центра на оси z аппроксимируют притяжение слегка вытянутого вдоль оси z эллипсоида. К несчастью, Земля не вытянута, а сплюснута. Выход состоит в том. чтобы поместить центры в мнимые точки на расстоянии ± is вдоль оси z. Аналитические формулы для решения сохраняют, конечно, силу и в комплексной области. Таким образом, получается приближение к полю тяготения Земли, в котором уравнения движения точно интегрируются и которое ближе к реальности, чем кеплеровское приближение (Земля — точка).
Рассмотрим здесь для простоты лишь плоскую задачу о притяжении двумя неподвижными равными массами. Успех метода Якоби основан на применении подходящей системы координат, так называемых эллиптических координат. Пусть расстояние между неподвижными точками O1, O2 равно 2с (рис. 204), а расстояния Движущейся массы от них равны T1 и г2. Эллиптические координаты ?> т) определяются как сумма и разность расстояний до точек O1,
°2- I = T1+ Г2, T) = T1 — Г2.
230
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Задача. Выразить функцию Гамильтона через эллиптические координаты.
Решение. Линии I = const суть эллипсы с фокусами в O1 и O2, Tj = const — гиперболы с теми же фокусами (рис. 205). Они взаимно ортогональны, поэтому ds2 = o?a%2 + b2dr]2. Найдем коэффициенты а и Ь. При движении вдоль эллипса имеем drt = ds cos a, dr2 = ¦—ds cos а, dr\ = 2 cos a ds.
При движении вдоль гиперболы имеем drt = ds sin а, dr2 = ds sin а, d^ = 2 sin а ds. Итак, a =(2 sin а)-1, Ъ = (2 cos а)-1.
Далее, из треугольника O1MO2 находим „2 і „а
откуда
ri + г2 + 2гл cos 2а = 4с*.
4с2-
COS^ а — Sm* а =
г2 — г2
Рис. 205. Конфокальные эллипсы и гиперболы
2»Ir2 2rtr2
cos2 а 4- sin2 а = -к-,
4с2 — (п-г2)2
і^ио~ іл — / . SiH CL ¦"— # •
4гхг2 ' 4ґ]г2
•2 2
Но если ds2 = а? dg?, то T =- ^ а? -^-, P1- = (?, H = ^ -^- + Г/. Итак,
(я + г8)» — 4с2
Я = р|
(ri + г2)2 — 4с2
2г!г2
4с2 — (ft — г2)2
2гхгг
T1
г2
Ho J1 + r2 = I, T1 — r2 = ті, 4rt?-2 = 52 — її2- Поэтому окончательно
Теперь будем решать уравнение Гамильтона — Якоби. Определение. Если в уравнение
_dS
7»)
о
переменная Cz1 и производная OSlOq1 входят лишь в виде комбинации ср і Si) , то говорят, что переменная qx отделяется. В этом случае полезно поискать решения уравнения вида
S = SM+ S1 fa, ...,?„)-
Полагая в исходном уравнении ср . Qij = си получаек уравнение для S' с меньшим числом переменных
Фг(ж' ••''^T'?2' ••••'»"¦^J=0-
Пусть S' = S' (с/2, ...,CZ11; C1, с) — семейство решений этого уравнения, зависящее от параметров ct. Функции S1 (qv C1) + S'
§ 47. МЕТОД ЯКОБИ—ГАМИЛЬТОНА
231
будут удовлетворять исходному уравнению, если S1 удовлетворяет обыкновенному уравнению ср (-^-. qij = C1. Это уравнение лег-
ко решить; выражая через q1 и C1, получаем -щ^ = \\> (дг, C1),
Яі
откуда S1 = J гр (?, C1) ^g1.
Если в новом уравнении (с Ф2) отделяется одна из переменных^ скажем д2, мы можем повторять эту процедуру и (в благоприятном случае) найдем зависящее от п постоянных решение исходного уравнения
Si (Qi> C1) + S2 (q2; c1, C2) + . . . + Sn (дп; c1, . . ., сп).
В таком случае говорят, что переменные полностью разделяются. Если переменные полностью разделяются, то зависящее от п
