Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
I = Uf) = J f{x)du(x).
Этот предел можно рассматривать как предел по базе В, окончаниями которой b = bs служат множества, состоящие из размеченных разбиений U с диаметром Au < Следовательно, предел I единственен.
Докажем теперь одно достаточное условие существования интеграла Стильтьеса.
Теорема (достаточное условие интегрируемости). Пусть функция и(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [а, 6]. Тогда
ь
для существования интеграла Стильтьеса J /(ж) du(x) достаточно,
a
чтобы функция /(х) была непрерывной на [а, 6].
Доказательство. По критерию Коши имеем, что существование предела интегральных сумм Стильтьеса, Iim O-(U),
эквивалентно выполнению условия Коши: для всякого є > 0 должно найтись число S = <?(е) > 0 такое, что для любых размеченных разбиений Ui и U2 с условием Au1 < S, Au3 < следует, что справедливо неравенство j<r(C/i) — &(U2)\ < є.
Обозначим через v полное изменение функции и(х) на отрезке [а, fr]. Зададимся произвольным числом є > 0. Тогда в силу непрерывности функции f(x) существует число S = ?(е) > 0 такое, что для любых X2 с условием ІХ1-Х2І < S выполняется неравенство j/(xi)-/(x2)| < Єї = e/2v. Возьмем теперь любые размеченные разбиения Ui и U2 с диаметрами Aul и Au3, меньшими S. Пусть Ti = T(Ui) и T2 = T(U2) — соответствующие им неразмеченные разбиения отрезка [а, Ь]. Разбиение Тз = Ti UT2 является измельчением разбиений Ti и T2, и пусть U^ — произвольное разбиение с условием Тз = T(Us). Тогда
Wfi) - = iE/WA,-« - ЕЁ/(?)Дм«)і =
«=1 »=1 JS=I
п к,
= і - < »=1
292- Аналогично доказывается, что \<r(U2) — <г((/з)| < €\v. Следовательно,
W(U1) - (T(U2)I < И^) - <г(%)|.+ IV(U9) - tr(U7)I < 2clV = 6.
Теорема доказана.
Укажем основные свойства интеграла Стильтьеса.
1°. Если функция u(z) дифференцируема, то имеет место равенство
ь ь
j f(x) du(x) = J f(x)ti'(x) dx,
a a
где последний интеграл понимается как интеграл Римана. 2°. Свойство линейности:
ь ь ь
J(Mx) + /2(*)) du(x) = Jh(x) du(x) + Jh(x) du(x),
a a a
Ь Ь
j af (x) du(x) = a J f(x) du(x) Va Є Ш.
a a
3°. При a < с <b имеем
beb
I f(x) du(x) = J f(x) du(x) + j f(x) du(x),
л а с
(свойство аддитивности).
4°. Если f'(x) и u(x) интегрируемы по Риману, то имеет место следующее правило интегрирования по частям:
ь ь
j f(x) du(x) = /Mu(X)Il; - J Ґ(X)U(Z) dx, a a
где последний интеграл понимается как интеграл Римана.
5°. Если ti(x) монотонно возрастает на отрезке [о, 6] и /(х) > д(х) на этом отрезке, то
ь 6
j /(х) du(x) > Jд(х) du(x).
а а
Приведем примеры вычисления интегралов Стильтьеса.
293- 1. Пусть {х} — дробная часть числа х, т.е. {х} — х — [х], где [х] = m Є Ъ — целая часть числа х, m < х < m + 1. Найти значение э
интеграла j х d{x}. о
Имеем:
з з
J xd{x} = j xdx + 1- (-1) + 2- (-1) + 3 (-1) = -1,5.
о
2. Пусть
U(X) = {
sinx, если 0 < X < 7Г, COS X1 если TT < X < 2тг.
2 ж
Вычислить интеграл I=Jx du(x).
о
Имеем:
п 2ir
I = J xrfsinxf- J X d cos X + (— 1) • тг = —2. о *
В заключение приведем теорему об общем виде линейного функционала в пространстве С[а,Ь].
Теорема.]) Пусть функция и(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [а, 6]. Тогда интеграл Стильтьеса
о
Hf) = / /W
dx
является линейным функционалом в пространстве С[а,6].
2) Пусть 1(f) — любой линейный функционал в С[а,Ь]. Тогда существует функция и (а?) с ограниченным изменением на отрезке [а,6] такая, что 1(f) представляется в виде
D
Hf) = I /(*) *¦(«)•
Мы не будем давать полного доказательства этой теоремы, остановимся только на его основных моментах.
1) Аддитивность и однородность 1(f) следует из линейности интегральных сумм Стильтьеса O1(U)1 соответствующих размеченному разбиению U отрезка [а, 6], T = T(U). Для этой суммы справедливо неравенство
< 11/11 * < П/П -,V^(U).
294- Переходя в нем к пределу при Av 0, получим
ь
rbl
/
Тем самым, доказана ограниченность /(/).
2) Пусть 1(f) — линейный функционал на пространстве С[а,6]. Этот функционал можно продолжить на пространство ступенчатых функций. Пусть отрезок [а, ?\ содержится в отрезке [а, 6]. Тогда положим
ГО, если X = а, ? < X < 6, X/,(a?) = llf если a<x<?.
Далее определим функцию I?ix) — «(?)• Эта функция u(?) имеет ограниченное изменение на отрезке [а, 6].
Зададимся произвольным є > 0. Тогда в силу равномерной непрерывности f(x) на отрезке [а, Ь] будем иметь, что существует число S = > 0 такое, что для всех х\, X2 с условием |a?i — х2\ < S выполняется неравенство |/(яі) — < Возьмем теперь размеченное разбиение U : {а — хо < х\ < • ¦ • < хп = fr,^l,... ,?„} с диаметром Au, меньшим S.
Рассмотрим функцию
п
Ф) = №)х*Л*) + ? - Xx-jc—i (^r)) •
к =2
Отсюда имеем
п
№ = /К0«(«і) + ?/«*)(«(**) - «(**-і))-
к-2
Далее, из определения функции <р(х) получим, что для любого X Є [а, 6] справедливо неравенство \f(x) — <р(х) \ < е. Следовательно, имеем
\if-i4>\ = W-?)\<e\\i\\.
А это означает, что при Au —> 0 величина If является пределом величин /<?>, но предел Itp представляет собой интеграл Стильтьеса
