Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
к
ц(А) = Y^nAn+ P(Ck).
п = 1
Кроме того, ранее мы показали, что Iim цСк = 0. А это значит, что
к-too
oo
Ii(A) = Yl 1*Ап, Теорема доказана.
П = 1
Важным следствием доказанного выше свойства счетной аддитивности меры Лебега является измеримость пересечения счетного числа измеримых множеств, а также измеримость объединения счетного или конечного числа измеримых множеств при условии ограниченности этого объединения.
В частности, отсюда имеем измеримость любого ограниченного открытого множества как объединения не более чем счетного числа открытых стандартных прямоугольников. Но тогда и любое замкнутое множество будет измеримым как дополнение до открытого множества, а следовательно, будет измеримым по Лебегу и любое не более, чем счетное, объединение и пересечение открытых и замкнутых множеств.
Докажем еще одно полезное свойство меры Лебега: свойство непрерывности.
Теорема 3. Пусть Ai,..., An,... — измеримые множества,
oo
и пусть A= U An —- ограниченное множество. Кроме того, пусть
П —1
A1 С A2 С • ¦ • С An С ... . Тогда /і(А) - lim р(Ап).
rl—+OO
Доказательство. Имеем
OO
An = Al U (A2 \ A1) U • • ¦ U (An \ An_i), A = A1 U (Aa \ А4_О,
S лл
279- причем для любых syt >2, s ф tt справедливы соотношения
A1H(AsXAs^1) = 0, (Ая \ Л5_і) П (At \ At-i) = 0.
Тогда в силу свойства счетной аддитивности меры получим
оо
Iim ц(Ап) = P(A1) +У;Аг(АЛАл_і)
п—юо '
S-2
Теорема 3 доказана.
Отметим, что не всякое множество на плоскости измеримо по Лебегу, но неизмеримые множества имеют довольно экзотический вид.
Можно поставить вопрос о том, как связаны между собой понятия измеримых множеств для разных размерностей. Например, если мы имеем измеримую плоскую фигуру P и будем пересекать ее прямыми, параллельными одной из осей координат. Тогда в сечении будут получаться линейные ограниченные множества. Измеримы ли они по Лебегу? Этот, вопрос на самом деле имеет принципиально важное значение и вот ответ на него. Да; но за исключением некоторого множества прямых, которое в пересечении с другой осью координат образует множество линейной меры нуль.
Вообще, если какое-нибудь условие выполнено для всех точек множества M С К, за исключением множества точек M' С My мера которого равна нулю, р(М') = 0, то говорят, что это условие имеет место для почти всех точек множества М. Термин почти все в смысле меры Лебега означает, что некоторое свойство выполняется на всем множестве, за исключением, быть может, множества меры нуль.
Рассмотрим теперь линейную меру Лебега, т.е., меру Лебега для ограниченных множеств на числовой прямой М. Очевидно, что счетное множество имеет меру нуль. Возможен тогда второй вопрос: существуют ли несчетные множества меры нуль? Да, существуют, например, канторово совершенное множество М, являющееся подмножеством отрезка [О, 1] и состоящее из тех чисел, которые записываются в троичной системе счисления в виде бесконечной дроби, не содержащей цифры 1. Например, числа 0,2; 0,200202; 0, 222 .. .2 • - • = 1 и т.д. г
Очевидно, множество M имеет мощность континуума, в то же время оно получается так: отрезок [0,1] делится на три равные части и выбрасывается средний интервал (1/3,2/3), затем эта процедура повторяется с каждым из двух отрезков, полученных после первого деления, и т.д.
Пусть Eo — исходный отрезок [0,1], Е\ — то множество, которое осталось после первого шага, E2 — множество, оставшееся после второго шага, и т.д.
280- OO
Очевидно, Eo D Ei D • • D En D ... и множество M равно П En.
п=1
Тогда при любом п > 1 для верхней меры множества M справедливы оценки цт(M) < fi(En). Очевидно, имеем
P(En) = Qj Ii(E0) = Qj О при „-юо.
Следовательно, мера множества M равна 0.
На этом мы завершаем изучение основ теории меры Лебега. Лекция 11
§ 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Понятие линейной меры Лебега позволяет расширить класс интегрируемых функций с помощью введения понятия интеграла Лебега. Для того чтобы сказать, что это такое, сначала введем понятие измеримой функции.
Определение 1. Функция f(x), заданная на отрезке [а, Ь], называется измеримой на этом отрезке, если для всякого у Є M множество E точек X Є [а, 6], для которых выполняется неравенство f(x) < у, является измеримым множеством на отрезке [а, 6] в смысле линейной меры Лебега.
Из свойств меры Лебега, доказанных в предыдущем параграфе, имеем, что вместе с множеством E измеримыми будут множества точек x Є [а, 6], для которых справедливы соотношения
/(*) > У, /(*) — Уь z < /(*) < V-
В частности, любая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция f(x) измерима, поскольку множество Iy = {яг € [я, Ь]| f(x) > у} будет замкнутым, а любое замкнутое множество является измеримым.
В качестве второго примера измеримой на отрезке / = [а, Ь] функции f(x) рассмотрим ограниченную функцию, имеющую разрывы на множестве лебеговой меры нуль. В силу критерия Лебега она будет интегрируема по Риману. Покажем, что эта функция является измеримой.
Возьмём любое число у € JR. Достаточно показать, что множество
