Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
ь
J № du(x).
а
На этом и завершается доказательство теоремы. Глава XIII
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 18
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ
В предыдущей главе было показано, что с помощью интеграла Стильтьеса можно выражать линейные функционалы, определенные на пространстве непрерывных функций С [а, 6]. На примере пространства С [а, 6] мы познакомились с функциональным пространством. Может возникнуть вопрос: почему множество С[а,Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] функций называется пространством? Ответ достаточно прост. Дело в том, что термин "пространство" по существу эквивалентен термину "множество". Отличие состоит в том, что термин пространство "в чистом виде" употребляется редко, а чаще в сочетании с другими терминами, например: топологическое пространство, метрическое, линейное, нормированное пространства и т.д. Все эти понятия играют важную роль в математике вообще и в математическом анализе в частности. Здесь мы познакомимся с некоторыми из них. Рассмотрим следующую схему.
Пространства / \
Топологические Линейные (векторные)
4 \ 4
Хаусдорфовы Линейные топологические
4- 4
Метрические —У Нормированные
Полные —> Банаховы —> Гильбертовы—у Евклидовы
На этой схеме показаны те некоторые из рассматриваемых в матема-тйке пространств, определения которых мы дадим. Стрелки имеют следующий смысл: то пространство, на которое указывает стрелка, является частным случаем того, из которого она "выходит".
296- Перейдем к определению пространств, указанных на схеме.
Пусть X — некоторое множество, E = ЛX — множество, состоящее из некоторых подмножеств множества X, т.е. E С ЩХ), где й,(Х) — множество всех подмножеств X. Пусть E обладает следующими свойствами:
1°. X Є Е, 0 Є Е;
2°. а) Если А и В Є Е, то А D В Є Е;
б) Объединение любого числа элементов из E принадлежит Е.
Для того чтобы указать, что элементами E являются некоторые подмножества множества X, говорят, что E есть некоторая система подмножеств.
Определение 1. Каждая система подмножеств Е, удовлетворяющая свойствамм 1° и 2°, называется топологией на множестве X.
Определение 2. Пара множеств (X, Е) называется топологическим пространством.
Часто говорят просто, что X — топологическое пространство, если на нем задана топология Е. Каждый элемент сг Є Е, т.е. каждое подмножество сг С X, принадлежащее системе Е, называется открытым множеством (в топологии Е).
Любое подмножество AcX такое, что X \ А Є Е, называется замкнутым множеством (в топологии Е).
Пусть X — некоторая точка, принадлежащая X. Тогда любой элемент <г Є Е, которому принадлежит точка х, называется окрестностью точки х, т.е. любое открытое множество, содержащее точку ж, называется ее окрестностью. Фиксированные окрестности точки х часто обозначают символом ах.
Определение 3. Топологическое пространство T = (X, Е) называется хаусдорфовым, если любые две различные точки х и у этого пространства имеют непересекающиеся окрестности сгх и <гу € Е, т.е.
(Tx Г) (Ту = 0. *
Пример хаусдорфова пространства (IR5E). Пусть множество E состоит из всевозможных подмножеств вещественной оси М, имеющих в своем составе конечное или счетное число непересекающихся интервалов. Тогда пространство (1R,E) является хаусдорфовым, поскольку любые две различные точки х и у можно окружить непересекающимися открытыми (^-окрестностями.
Отметим, что изучение различных топологических пространств составляет предмет теоретико-множественной топологии.
297- Определение 4. Пусть задан декартов квадрат X2 = X х X некоторого множества X я пусть на множестве X2 определена числовая функция р{х\, х2) со следующими свойствами:
1).для любых (x\tx2) € X2 имеем р(х\,х2) > 0, причем р(хi,x2) = О, если Xi = X2 (неотрицательность^;
2) для любых (xi,x2) € X2 имеем p(xi,x2) = р(х2, Xi) (симметричность);
3) для любых X, у, z Є X справедливо неравенство треугольника:
р{х,у) < />(«,*) + p(z,y).
Тогда пара (X, р) или само множество X называется метрическим пространством, а функция р(х\,х2) называется метрикой этого пространства, или расстоянием от точки х\ до точки X2, или функцией расстояния.
Примеры. 1. Пусть X — произвольное множество и
ГО, ёсли X = у,
р(х,у) = < ,
Ii 1, если X фу,
тогда пара (Х,р) является метрическим пространством.
2. Пусть на множестве вещественных чисел расстояние задается по формуле р(х,у) = |х — у), тогда пара (R,/?) является метрическим пространством.
Отметим, что метрику на одном и том же множестве X можно задавать по-разному. При этом получаются различные метрические пространства. Например, на плоскости R2 можно задать расстояние между точками х = (xi,x2) и у = (уі,уг) как по формуле
/>о(*,у) = maxflxi - у!|, |х2-у2|),
так и по формуле
р(х, у) = у/(хл -Уі)2 + {х2-у2)2.
Для всякого числа є > О определим открытые е-окрестности точек X E X в метрическом пространстве (Х,р) (обозначим их через <Тг(0) как множество точек, содержащееся в Л" и состоящее изо всех точек точек у Є X с условием р(х,у) < є. Множества <т, являющиеся объединением любой совокупности, составленной из ^-окрестностей различных точек х Є X, назовем открытыми. Тогда можно показать, что система Множеств E = {<т} задает на множестве X топологию и превращает это множество в топологическое хаусдорфово пространство. Заданная топология называется топологией, порожденной метрикой р.
