Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
j f(x) dx = I /(X) dx.
n=1er,
Интеграл по множеству En можно записать и так:
о
J /(х) dx = J f(x)gn(x) dx,
En a
где <7п(я) — индикаторная функция множества En, т.е.
*.м = {J;
если X Є En, если X ? En.
В заключение отметим, что в случае интеграла Лебега упрощается по сравнению с интегралом Римана предельный переход под знаком интеграла. Приведем точную формулировку этого утверждения.
285- Теорема (теорема Лебега). Пусть на отрезке [а, 6] последовательность измеримых функций /п(х) сходится к функции f(x) и пусть для некоторой суммируемой функции д(х) на отрезке [а, 6] выполнено неравенство |/п(х)| < д(х). Тогда предельная функция f(x) — суммируема и имеет место равенство
о о
Iim / /п(я) dx = I f{x) dx.
П-+00 j j
a
Доказательство. По условию теоремы абсолютные величины функций /п(х), n *> 1, не превосходят суммируемой функции <р{х). Следовательно, и абсолютная величина предельной функции f(x) не превосходит <р(х), и значит, она является суммируемой функцией.
ь
Нам надо доказать, что lim Jgn[x) dx = 0, где </n(i) = f[x)~ /п(я)-
n-foo „ л
Зададимся произвольным числом є > 0. Для каждого п > 1 определим множество An тех точек X, для которых |<7„ (х)I > Єї = з(ь~а) • Тогда в силу упомянутого выше свойства счетной аддитивности меры Лебега справедливо равенство lim рАп =0. В противном случае на-
П—KOO
шлась бы точка х такая, что для бесконечного множества значений п
%
выполнялось неравенство А это противоречит тому, что
lim gn{x) = 0.
n-foo
b
Представим интеграл J=J gn(x) dx в виде
а
J = Ji + J2,me Ji= j gn{x) dx, J2-J gn{x) dx, I = [a,b].
I\An An
По теореме о среднем имеем
\Ji\< ti(b - а) = e-, а для интеграла J2 справедлива оценка
Ш < j \9n(x)\ dx < 2 J <р(х) dx.
Пусть Bm = {х 6 An \ <р{х) > m). Тогда в силу сходимости интеграла ф =J <р(х) dx имеем An
Iim
т-юо
В
J (р(х) dx = 0.
286- Следовательно, существует m0 G N такое, что для всех т > то имеет
место неравенство
/ ?>(*) dx
<1
Далее, представим интеграл Ф в виде Ф = Фі + Фг, где
Фі
= J <р(х) dx, Ф2 = J <р(х) dx.
Лп\Вг
В силу теоремы о среднем имеем
|Ф21 < тр(Ап \ Bm) < Tnp(An).
Поскольку мера множества An дтремится к нулю при п —? оо, то при любом фиксированном т > то можно указать по Є N такое, что для всех п > по справедливо неравенство
|Ф2| < Tr4I(An) <
Следовательно, для любого t > 0 мы нашли no € N такое, что для всех п > по выполняется неравенство
о /
дп (a?) dx
< е, т.е.
Iim
п-+оо
о
Jдп(х) dx =
0.
Теорема доказана.
Отметим еще один факт, состоящий в том, что для ограниченной неотрицательной функции интегрируемость по Лебегу эквивалентна измеримости по Лебегу ее криволинейной трапеции.
Для более полного изучения теории интеграла Лебега можно познакомиться со следующими оригинальными работами: Н. Lebesgue. Integrale, Longueur, Aire. These, Paris, 1902; С. de la Vallee Poussin. Inte'grales de Lebesgue. Fonctions d'erisemble. Classes de Baire. Gauthier - Villars et C'e, Paris, 1916; А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М. - Л., 1934; Н. Н. Лузин. Интеграл и тригонометрический ряд, ГИТТЛ, М. - Л., 1951; Ш. де ла Валле Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. Т.1, ГТТИ, М. - Л., 1933. Лекция 11
§ 3. ИНТЕГРАЛ СТЙЛЬТЬЕСА
Имеется еще одно обобщение понятия интеграла Римана — это интеграл Стильтьеса. Он отражает другую особенность интеграла Римана по сравнению с интегралом Лебега. Если мера Лебега и интеграл Лебега вводились для того, чтобы расширить класс измеримых множеств и класс интегрируемых функций, to введением интеграла Стильтьеса мы решаем другую задачу. Дело в том, что на интеграл
' ь
I = J f{x) dx
а
можно посмотреть вот с какой стороны. При фиксированном отрезке [а, Ь] интеграл I — это число, которое ставится в соответствие каждой интегрируемой функции. Тем самым, интеграл Римана задает некоторую числовую функцию, определенную на множестве {/} всех функций, интегрируемых на отрезке [а, Ь]. Сузим класс функций и будем рассматривать непрерывные функции, определенные на отрезке [а, 6]. Множество всех таких функций принято обозначать символом С[а,6], причем для каждой функции / Є С[а, 6] определяют величину II/U = max |/(я)|, называемую нормой функции f(x) в пространстве
гЄ[а,Ь]
C[a,b). Пусть /€С[а,6], тогда, как мы знаем, / — интегрируема по Риману на отрезке [а, 6] и
ь
/(/) = J f(x) dx.
а
1(f) — линейная числовая функция, т.е. для любых f,g Є C[a,6J и любых a, ? Є M справедливо равенство I(af + ?g) = al(f) + ?l(?)-
Напомним, что числовые функции, определенные на множестве, элементами которого являются функции, во избежание путаницы, называют функционалами. Более того, функционал /, ставящий всякой функции / Є C[a,b] в соответствие число 1(f), называется линейным функционалом, если выполняются следующие свойства: 1°. Аддитивность: I(h + /2) = /(/1) + /(/2) V/b /2 Є С[а, 6]; 2°. Однородность: I(cf) = cl(f) Vc 6 1, V/ € С[а, 6]; 3°. Ограниченность: существует M > О такое, что для любой функции / € С[а,Ь] справедливо неравенство |/(/)| < Af||/||. Наименьшее из таких чисел M называется нормой линейного функционала I и обозначается ||/||.
