Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Iy = {* Є / |/(х) > у}
является измеримым. Предельные точки Xq множества Iy могут • быть двух видов: точками непрерывности функции f(x) и ее точками разрыва. Если такая точка Xo — точка непрерывности, то она обязана принадлежать Iy. Действительно, поскольку Хо — предельная точка множества /у, существует последовательность точек хп Є Iy таких, что
lim Xn = X0, f(xn) > у.
Отсюда в силу непрерывности f(x) в точке Хо имеем у < lim f(xn) = /( lim xn) = f(x0),
282 т.е. точка хо принадлежит Iy.
Бели же предельная точка Xo множества Iy не принадлежит ему, то она является точкой разрыва функции f(x). Обозначим множество всех таких точек хо через F. Множество F имеет меру нуль как подмножество множества нулевой меры Лебега.
В силу того, что множество А = IyUF — замкнуто, оно измеримо. Следовательно, множество Iy — измеримо, как разность измеримого множества и множества меры нуль.
Тем самым установлена измеримость функции, имеющей множество точек разрыва нулевой меры Лебега.
Рассмотрим далее функцию /(я), заданную на отрезке [а, 6], ограниченную и измеримую на нем. Тогда для некоторого M > 0 для всех точек X G выполняется неравенство |/(х)| < М. Отрезок [—М,М] на оси ординат разобьем на п равных частей: -М<уо<у\- — <уп = М. Множество точек xi удовлетворяющих условию у, < /(ж) < у»+ь обозначим через E9i s = 0,...,n— 1. Заметим, что множество Es — измеримо. Положим /i, = n{Es).
n-1
Определение 2. Сумму Sn = Yl Р»У» назовем интегральной сум-
»=о
мой Лебега.
Можно доказать, что всегда существует предел I= Iim Sn. Этот
п-юо
предел называется интегралом Лебега от функции f(x) по отрезку
ь
[о, 6] и обозначается, так: (L) f f(x) dx.
а
Поскольку для любой интегрируемой по Риману функции множество точек разрыва имеет меру нуль (критерий Лебега), в силу доказанного выше она измерима по Лебегу. Более того, интеграл Лебега от этой функции равен интегралу Римана. Действительно, пусть T : а = хо < Xi <'•< хп = b — произвольное разбиение отрезка [а, 6], Д, = Axi = xi - xi-i, rrii = inf /(ж), Mi = sup f(x).
і *єд,
Тогда для интеграла Лебега имеют место неравенства
гпіАхі < (L) J f(x) dx < MiAxi.
Xi-1
Следовательно, в силу аддитивности интеграла Лебега, для верхней S(T) и нижней s(T) сумм Дарбу получим
б
s(T) < (L) J /(х) dx < S(T).
283- Отсюда, переходя к пределу при диаметре Дт разбиения Tt стремящемся к нулю, будем иметь
ь
lim s(T) = lim S(T) = (R) [ f(x) dx. Дт-^О Дг-+0 J
а
Таким образом, мы доказали, что интеграл Лебега равен интегралу Римана, если последний существует. Заметим, что поэтому для интеграла Лебега используется то же обозначение, что и для интеграла Римана.
Перейдем теперь к рассмотрению неограниченных измеримых функций на отрезке [а, 6]. Рассмотрим сначала случай неотрицательной функции f(x). Для любого вещественного числа у определим функцию fy(x) следующим образом:
Iy[X) 1 у, если |/(*)| > у.
Эта функция измерима. Тогда интегралом от функции f(x) на отрезке [а, b] называется предел
о о
/f(x) dx = lim I fy(x) dx. y-+oo J
Если этот предел конечен, то функция f(x) называется суммируемой. Очевидно, что суммируемая функция может обращаться в бесконечность лишь на множестве лебеговой меры нуль.
Пусть теперь функция f(x) принимает значения произвольного знака. Тогда определим функции
/+(*) = Hiax(ZWlO)17-W =max(-/(ar),9).
Будем говорить, что функция f(x) суммируема, если суммируемы обе функции f+(x) и f~(x), и интеграл от функции f(x) равен разности интегралов от функций f+(x) и f-(x).
Отметим, что в случае ограниченной функции f(x) на отрезке [а, 6] понятия суммируемой и измеримой функций совпадают. Из определения суммируемой функции непосредственно следует, что:
1) вместе С f(x) будет суммируемой функция IZ(aOI) ПРИ этом модуль интеграла от подынтегральной функции f(x) не превосходит интеграла от модуля этой функции;
2) если f(x) — измерима и [ZfaOI — суммируема, то функция f(x) — суммируема;
284- 3) если f(x) — измерима и модуль ее не превосходит суммируемой функции <7(х), то функция f(x) — суммируема;
4) если /(ж) — суммируема и д(х) — ограниченная измеримая функция, то их произведение является суммируемой функцией;
5) если f(x) — суммируемая функция и д(х) не совпадает с ней на множестве меры нуль,;то функция д(х) — суммируема, и интегралы от этих функций равны между собой.
Отметим еще, что для интеграла Лебега от суммируемой функции верны те же свойства, что и для интеграла Римана, но кроме этого добавляется еще одно важное свойство: свойство счетной аддитивности интеграла Лебега. Его можно сформулировать так.
Пусть на отрезке [а, 6] задано счетное разбиение единицы, т.е. задано счетное множество измеримых функций дп(х), принимающих всего два значения 0 и 1, причем для любого х Є [а, 6] одна и только одна функция дп(х) отлична от нуля. Тогда для всякой суммируемой функции /(х) на отрезке [а, 6] имеем
ь ' ™ Ь
оо
/ /(х) dx = f^f f(x)gn(x) dx. . n=l {
Это свойство можно сформулировать и по-другому. Пусть отрезок [а, 6] разбит на непересекающееся семейство измеримых множеств En. Тогда интегралы от функции /(х) по множествам En существуют и имеет место равенство
