Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
inf(S(T) - s(T)) = О,
значит, по критерию интегрируемости функция f(x) является интегрируемой, Теорема доказана.
Примеры. 1. Соображения, использованные нами при доказательстве первой части предыдущей теоремы, показывают, что площадь криволинейной трапеции
^P: y= f(x)>0, у = 0, х = а, х = Ь,
равна
ь
p(P) = J f(x) dx.
а
2. Площадь криволинейного сектора Р, граница которого задана в полярных координатах уравнениями г = f(<p), iP — a, V7 = ?> определяется по формуле
P
А<(Р) = IJ f('-P) d<p.
Ot
Доказательство этой формулы опирается на свойство монотонности меры Жордана. Разобьем отрезок [a,?] на п равных частей точками а = <ро < у»і < • • • < lPn = ?- Кривая г = f(ip) точками Ak(rk, <Рк), rk = f (<рк)> разбивается на п дуг, а сектор P — на п малых секторов Pk Пусть
A= min /(*е), Pfe- max /(<р).
VGLVfc-I ,Vk] ^elVfc-i ,VfcJ
Тогда площадь к -го криволинейного сектора содержит круговой сектор радиуса fk и находится вцутри сектора радиуса Ffc. Используя формулу площади кругового сектора и свойство монотонности площади, имеем
^fkApk < р(Рк) < іFgAtpkt А<рк = <рк+л - <рк.
272- Откуда получим
l" In
«Я = 2 E A2Ayfc < /I(P) < 2 L a^ = •
Jfc = I Ar = I
Суммы Sn и Sn являются нижними и верхними суммами Дарбу для интеграла
?
i=\Jf2(<p)d<p:
а
Поскольку функция f(<p) — непрерывна, /2(v?) — непрерывна и интегрируема, а потому при п —> оо имеем Sn —» I, Sn I. Отсюда получим fi[P) = I- Утверждение доказано.
Аналогично можно вычислять и объемы различных фигур, вписывая в них и описывая вокруг них простейшие фигуры, зависящие от некоторого параметра п, и устремляя потом его к бесконечности. Подобным образом находил площади и объемы еще Архимед, т.е. мы применили метод исчерпывания, принадлежащий Архимеду.
Итак, понятие измеримости по Жордану позволяет значительно расширить класс фигур P на плоскости и в пространстве, которым можно приписать значение площади или объема р{Р). Однако легко можно указать пример плоского множества Р, не измеримого по Жордану. Например, рассмотрим функцию Дирихле х{х) на отрезке [0,1]:
Г 1, если х —рациональное число,
Х(х) = п
I. 0, если ж — иррациональное число.
Пусть P есть криволинейная трапеция, соответствующая этой функции, т.е. множество точек (г, у) на плоскости хОу, определяемое для всякого X, принадлежащего отрезку [0,1], условиями 0 < у < х(г)-
Очевидно, что любая простая фигура, содержащая P1 должна содержать единичный квадрат, и поэтому верхняя мера ее р*(Р) равна единице. Но в то же время простые фигуры, вписанные в Р, могут, очевидно, состоять только из конечного числа отрезков, и они имеют поэтому нулевую площадь, следовательно, нижняя мера фигуры P равна нулю. Значит, фигура P неизмерима по Жордану. Но здравый смысл говорит о том, что фигуре Р, тем не менее, разумно приписать меру нуль, и вот по какой причине.
Как известно, рациональные точки отрезка можно занумеровать, потому фигура P состоит из счетного числа отрезков. Возьмем любое є > O и накроем первый отрезок прямоугольником, площадь которого равна є/2, второй отрезок — прямоугольником площадью є/22, и т.д. Тогда вся фигура покроется счетным количеством стандартных прямоугольников, а их общая площадь не превышает величины
є є є
--І---1---!-¦•• = ?.
2 22 23
273- Так как фигура P накрыта прямоугольниками, общая площадь которых не превышает є, то, естественно, считать, что и площадь фигуры P тоже не превосходит є, а это может быть только в том случае, если она равна нулю.
Мы подошли тем самым к способу определения понятия площади даже для тех фигур, которые неизмеримы по Жордану. Развивая этот подход, приходим к понятию меры Лебега, которое можно построить для пространства любой фиксированной размерности, в том числе и для прямой IR. Глава XII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА.
ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА
Лекция 15
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА Рассмотрим случай плоской меры Лебега.
Определение 1. Пусть ограниченная плоская фигура P покрыта конечным или счетным множеством стандартных открытых прямоугольников hn, n = 1,... . Совокупность H = {Лп} всех этих прямоугольников назовем покрытием плоского множества P (или фигуры Р). Величину
PH = lim р( U Л5) пчоо я — \
назовем мерой покрытия Н. Множество H называется простейшим множеством.
Заметим, что величина рн всегда неотрицательна.
Определение 2. Число р* (P) = inf рн, где инфимум берется по
H
всем возможным покрытиям простейшими множествами фигуры Р, называется верхней мерой Лебега фигуры Р.
Очевидно, имеем 0 < A**(P) < +оо, поскольку в силу ограниченности фигуры P найдется стандартный квадрат К со стороной I такой, что P С К. Отсюда получим, что р* (P) < I2.
Определение 3. Пусть CP = К\Р, где К — стандартный квадрат, покрывающий фигуру Р. Цижней мерой Лебега плоского множества P назовем число
р.(Р)=р(К)-р*(СР).
Определение 4. Плоское множество P называется измеримым по Лебегу, если
р*(Р)=р.(Р)^р(Р),
а число р(Р) называется плоской мерой Лебега.
