Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Докажем следующий критерий измеримости множества по Лебегу.
275- Теоремаї. Пусть А — ограниченное множество. Тогда для измеримости по Лебегу множества А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для всякого є > О существовало бы простейшее множество В = В (е), такое, что справедливо неравенство
P9(AAB) <є.
Это значит/ что любое измеримое по Лебегу множество с любой степенью точности может быть аппроксимировано простейшими множествами.
Доказательство. Необходимость. В силу ограниченности множества А существует стандартный квадрат К, покрывающий А, т.е. А С К. Нам дано, что множество А — измеримо. Следовательно, р*(А) =р.(А), т.е. р*(А) + р*(К\А)=р(К).
Далее, из определения верхней меры Лебега имеем, что для любого є > 0 существует последовательность открытых стандартных прямо-
со
угольников {Сп}, покрывающая множество Д, т.е. AcC= U Cn, и
п = 1
такая, что
оо
п = 1 1
Аналогично, найдется последовательность стандартных прямоугольников {?)„} такая, что
OO
к \ А с у Dn = D, (л* (К \ А) < Vp(Dn) < ц* (К \ А) +
П — 1 т^ш^ ?
Отметим, что множества CwD образуют покрытие квадрата К.
OO
Далее, так как ряд Y P(Cn) сходится, то существует номер к =
п = 1
OO
к(є/2) такой, что Yl v(cn) < є/2.
n=k + l
Положим
B= U Cn, P= U Cn, Q = ВП ( U Dn) .
n=l n-k+l Vn=I /
Заметим, что множества В и P образуют покрытие множества.А, т.е. В U P D А, и, следовательно, множество P содержит А \ В.
Имеем также, что множество Q содержит В \ А. В самом деле,
Q = В П D D В П (К \ А) = В \ А.
Таким образом,
P U Q Э (А \ В) U (В \ А) = ААВ.
276- Оценим сверху величину fl(Pl)Q).
Поскольку для любых двух простейших множеств FnG справедливо равенство
H(F U G) = n{F) + h(G) - p(F П G),
получим
H(PUQ) =H(CDD) =н(С)+n(D) — /х(С U D) <
<S(A) + ~ + S(K\A)+C--H(K) = e.
Следовательно, для любого є > G мы нашли множество В = В (є) такое, что
S(AAB) < H(PUQ) <є.
А это и завершает доказательство необходимости.
Достаточность. Нам дано, что для любого є > 0 существует простейшее множество В = В (є/2) такое, что S(AAB) < Далее, поскольку В П (А\ В) = 0, АГ\(В \ А) = 0, справедливы неравенства
H(B) + S і А \ В) > S (A); S(A) + s (В\А)> H(B).
Отсюда и из условия А \ В С AABi В \ А С AAB имеем S(А) - H(B) < S(А\ В) < S(AAB) < I, н(В) - S(A) < S(А \ В) < S(AAB) <
т.е.
Далее, поскольку множество А ограничено, существует стандартный квадрат К такой, что К D А. Очевидно, имеем
(К\А)А(К\В) = ААВ.
Поэтому, как и раньше, получим
\S(K \А)~ н(К \ В)\ < Используя равенство н(В) + \В) — ?(K)> получим IS(A) + S(К \ А) - H(K)I < іS(A) - H(B)I + IS(K\A) ~н(К\В)\<е)
т.е. \S(A) + S(К \ А) — н(К)\ < є- В силу произвольности выбора числа є > 0 отсюда следует, что
S(A) + S(K\ A) -H(K) = О,
277- т.е. = р(К) — р*(К\А) = р+(А). Последнее равенство и означает,
что множество А измеримо. Теорема 1 доказана.
Исходя из доказанного критерия, очевидно, имеем, что для любых измеримых множеств, Л и В их объединение, пересечение, разность и симметрическая" разность являются измеримыми множествами. Более того, если измеримые множества А и В не пересекаются, то
P(AUB) = Ii(A)+р(В).
Мы не будем детально изучать свойства множеств, измеримых по Лебегу, но следует отметить, что это ненамного сложнее, чем изучение измеримости по Жордану. Тем не менее, мера Лебега обладает существенным преимуществом перед мерой Жордана, так как помимо свойств инвариантности относительно движений плоскости и монотонности, она обладает свойством счетной аддитивности взамен свойства конечной аддитивности, которым обладала мера Жордана. Уточним, что имеется в виду.
Теорема 2. Пусть А\,..., Any... — бесконечная последовательность непересекающихся множеств, измеримых по Лебегу. Пусть
OO
их объединение A= U An является ограниченным множеством. To-
п=1
гда множество А измеримо по Лебегу, причем
OO
^)=1^(/1(^1) + .-4-^)) = 7"^).
fl—+OO
П = 1 •
Доказательство. Так как множество А — ограничено, то существует стандартный квадрат К, содержащий А. В силу этого и свойства конечной аддитивности для любого фиксированного числа k > 1 имеем соотношения
к
5>(Лп)=/і( и An) < Ii(K).
п~ 1
OO
Отсюда следует, что ряд ? /*(Дг) сходится, и поэтому для любого
П = 1
е > О существует Аго = ко(е) такое, что для любого числа к > ко
OO
выполняется неравенство J2 P1(An) < §•
n=Jt + l
Зафиксируем какое-нибудь число к, большее ко. Тогда множество к
C= U An — измеримо, следовательно, по критерию измеримости
п = 1
(теорема 1) для всякого є > О существует простейшее множество В = Я(§) такое, что р*(С&В) < §.
278- Очевидно, справедливо следующее соотношение:
OO
AAB C(CAB)Uf U An).
Tl=fc + 1
Тогда, используя неравенство
OO
]? P(An) <
получим, что /^(АДВ) < є. Следовательно, множество А — измеримо.
OO е
Аналогично доказывается, что и множество Ck = U An является измеримым.
Далее, в силу свойства конечной аддитивности имеем
