Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
288 Таким образом, интеграл Римана 1(f) задаёт линейный функционал на пространстве С[а,Ь]. С помощью интеграла Римана на пространстве С[а,Ь] можно построить много других линейных функционалов. Например, для любой фиксированной интегрируемой по Риману функции #(х) на пространстве С[а,Ь] можно задать линейный функционал
ь
Ш = / /МяМdx•
а
Заметим, что, если функция G(x) такова, что для всякого х Є [а, 6] справедливо равенство д(х) == G'(x), то Ig(f) можно представить в виде
ь
W = J /М <«(«)•
а
Для развития теории интегрирования и для некоторых ее приложений, например, для теории вероятностей, вариационного исчисления, теоретической механики, важно иметь ответ на вопрос: любой ли линейный функционал <p(f) на пространстве С[а, 6] можно представить в таком виде, т.е. всегда ли найдется такая функция д(х), что
ь ь
<p(f) = W) = / /MfM <1* = J /М
а а
Легко понять, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана, то ответ отрицательный, так как тогда, например, функционал у?(/) = f(xо), где хо — фиксированная точка отрезка [а, 6] (в частности, хо = ^-) в таком виде представить нельзя. Но можно расширить понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейный функционал <p(f) на пространстве С[а, Ь] можно будет представить в виде
ь
9(f) = j'/M dG(x).
а
Расширение понятия интеграла Римана в указанном направлении и достигается введением понятия интеграла Стильтьеса. Для этого нам потребуется определить новый класс функций.
Определение. Функция и(х) называется функцией с ограниченным изменением или, что то же самое, функцией ограниченной вариации яа отрезке [а, 6], если существует вещественное число
!0 Лекции по мате мата тескому анализу
289 M > О такое, что для любого разбиения T : a = to < h < - • • < tn = b выполняется неравенство
S = I
Величина, равная supV(/;T) = V?(f), называется полным изме-
т
нением или полной вариацией функции f(x) на отрезке [а, 6].
Отметим следующие свойства функций с ограниченным изменением на отрезке.
1°. Сумма двух функций с ограниченным изменением есть функция с ограниченным изменением.
Действительно, пусть h(x).= /(?)+5(1). Тогда для любого разбиения T отрезка [a,b] справедливо неравенство V(h,T) < V(f,T) + V(g}T). Отсюда следует, что полное изменение Vaih) функции Л(х) не превосходит суммы полных изменений функций /(я) и ^(я).
2°. Ограниченная монотонная функция на отрезке [а, 6] — функция с ограниченным изменением.
Рассмотрим только случай неубывающей функции f(x) на отрезке [а, 6]. Имеем
к?1Л=m -/w-
3°. Пусть a < с < b и функция f(x) имеет ограниченное изменение на отрезке [а, 6], тогда имеет место равенство Va6 (Z) = Vac(/) + V^ (f).
Возьмем любые разбиения Т\ и T2 отрезков [а, с] и [с, 6] и положим T = T1UT2. Тогда VifiT) = V(^T1)+ VifyT2). Так как
SupnAT1) = W), supV(ftT2) = K6(Z), T1 T3
то, переходя в предыдущем равенстве к супремумам по разбиениям Ti и T2y получим
Kf(Z) + Усі!) = sup Vif1T) <vab(f).
T-TrUTi
Возьмем теперь любое разбиение T отрезка [а, 6] и добавим к нему точку с. Получим разбиения Ti отрезка [а, с] и T2 отрезка [с, 6]. Тогда
VV,T) KVlftTl)+ Vif1T2).
Переходя в этом неравенстве к супремумам по всем разбиениям Т, получим
Vaif) < SMVifjT1) + VifiT2)) < Kc(Z) + K6(Z).
гг
290- Вместе с ранее доказанным противоположным неравенством это дает
VabU) = W) + veb(f).
4°. Каждая функция с ограниченным изменением на отрезке [а, 6] может быть представлена как разнорть двух ограниченных монотонно возрастающих функций.
Положим <р(х) = Vf (f). Тогда функция <р(х) не убывает и неотрицательна на отрезке [а, Ь]. Далее, положим ф{х) = <р(х) — f(x). При Xi > х2 имеем
Ф(хі) - ФЫ = Vp - Va*> - /(X1) + /(X2) = - (/(an) - f(x2)) > О, так как
п
v;i = «IP W1T) > sup I Y<(fM - /К-і))І = 1/<*а) - Я*Ol-т т ^
5°. Функция с конечным числом максимумов и минимумов на отрезке [а, 6] является функцией с ограниченным изменением.
Пусть отрезки [х,_!,?,], s = задают участки монотонности
функции /(а?) на отрезке [а, Ъ). Тогда
KV) = (Z), да v/;-,(/) = №.)- /(«.-i)|.
Пример. Найти полное изменение функции /(х) = sinx при X Є [0,2тг].
Разобьем отрезок [0,2л-] на отрезки монотонности функции sinx : [§> [х' ^7rI- Тогда согласно свойствам 5° и 3° будем иметь:
{sinx, если 0<х<тг/2,
2 — sin X, если тг/2 < X < Зтг/2, 4 + sinx, если Зтг/2 < х < 2тг.
Пусть /(х) — непрерывная функция и w(x) — функция с ограниченным изменением на отрезке [а, 6], и пусть V = {а = to < t\ < • • < tn = Ъ, ... — размеченное разбиение отрезка [а, 6] и T = T(V) — соответствующее ему неразмеченное разбиение. Пусть, кроме того,
п
AtU = «(*,).- «(<,-!), <r(V) = V4(V) =
«=ї1
10*
291 Тогда cr(V) называется интегральной суммой Стильтьеса.
Если существует предел
iim <г(К) = Iu(/),
то функция /(х) называется интегрируемой по функпди и(х) на отрезке [а, 6], а величина I = Iu(f) — интегралом Стильтьеса от функции f(x) по функции и(х) (или относительно функции «(ж)) и обозначается так:
