Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение 6. Если точка х Є Ai но не является предельной точкой множества At то она называется изолированной точкой множества А.
Теперь заметим, что в определении сходимости в полном метрическом пространстве последовательности {хп} к точке а не обязательно требовать, чтобы {х„} была фундаментальной, так как, если для любого € > 0 существует По = По (є) такое, что для любого ті > п0 выполнено неравенство p(xnta) Keflt то тогда для любых 7іі,П2 > по имеем
є є
p(xnit хП2) < p{xni, a) + р(хП2, a) < - + - = є,
т.е. последовательность {xn} фундаментальна.
Докажем еще одно простое утверждение.
304- Утверждение 4. Если последовательность {хп} имеет предел, равный числу а, то а — единственнай ее предельная точка.
Действительно, пусть b — другая предельная точка. Тогда p(a,b) = ро > 0. Возьмем ро/2-окрестность точки а. Вне ее находится лишь конечное число точек последовательности. Тогда внутри Po/2-окрестности точки b будет находиться лишь конечное число членов этой последовательности, быть может, ни одного. Противоречие. Следовательно, последовательность, имеющая предел, имеет единственную предельную точку, что и требовалось доказать.
Докажем теперь критерий замкнутости множества.
Теорема, а) Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
б) Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда его граница ЗА содержится в нем, т.е. ЗА С А.
Доказательство. Сначала докажем утверждение а).
Необходимость. Пусть Iim xn — а, хп € А. Надо доказать, что
п—юо
а Є А. Точка а не может быть внешней для множества Ay так как в любой ее окрестности есть точки из А. Значит, она является либо внутренней, либо граничной, т.е. а Є А или а Є дА С А, и в обоих случаях точка а принадлежит множеству А. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть множество А содержит все свои предельные точки. Нам надо доказать, что его дополнение В = X \ А является открытым множеством, т.е. любая-точка х € В является внутренней точкой множества В. Если х Є В, то точка х или внутренняя точка В, или граничная точка В. В первом случае доказывать нечего. Разберем второй, случай х Є В и х € dB, т.е. х — граничная точка множества В. Но с одной стороны эта точка не принадлежит А, так как X Є В, ас другой стороны — точка х Є dB = дА, т.е. в любой окрестности точки X есть точка из множества A3 и потому х ? А по условию теоремы, но это невозможно, так как х ? В, по нашему предположению, и AClB = 0. Следовательно, точка х ф. dB, т.е. имеет место только первый случай: ж — внутренняя точка множества В, что и требовалось доказать.
Докажем теперь утверждение б). Необходимость. Ранее мы уже доказали, что если А — замкнуто, то дА С А.
Достаточность. Нам надо доказать, что если дА С А, то множество В = X \ А — открыто. Мы знаем, что дА = dB, и поэтому dB С А, откуда dB П В = 0. Это значит, что граничные точки множества В в него не входят, а входят только внутренние точки В, т.е. точки множества В — внутренние. Следовательно, множество В — открыто, а значит, множество А — замкнуто.
Теорема доказана полностью.
305- § 4. ЛЕММА О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ШАРОВ. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрим два свойства полных метрических пространств. Первое — лемма о последовательности стягивающихся шаров.
Лемма. Пусть K(x\,ri) Э К(х2, Г2) D ... — последовательность вложенных замкнутых шаров в полном метрическом пространстве X1 причем lim rn = 0. Тогда существует единственная точка хо,
п-юо
принадлежащая всем шарам.
. Доказательство. Прежде всего заметим, что последовательность центров шаров {х„} будет фундаментальной. Действительно, зададимся произвольным є > 0. Тогда существует no = по(е) такое, что для всякого n > по имеем гп < б", а потому при любых «і > > nO- согласно включению К(хПі,гПі) D Я(жПз,гПз) имеем P(^n11Xri2) < гПі < є, т.е. последовательность {#п} удовлетворяет определению фундаментальной последовательности.
Так как {«„} — фундаментальна, то в силу полноты пространства существует предел lim хп = X0 Є X, причем Xq является ПрЄДЄЛЬНОЙ
п-+оо
точкой для каждого шара, а поскольку они замкнуты, то для любого натурального числа п имеем Xq Є К(хп,гп).
Покажем, что точка а?о является единственной точкой, принадлежащей одновременно всем шарам. Пусть это не так, т.е. найдется точка уо Є Г\К(хп,гп), р(хо,уо) = р. Очевидно, существует п такое гп < Из неравенства треугольника получим
Р = Р(хо>Уо) < p(xn,x0) + р{хп,у0) < | + ? = р.
Противоречие. Следовательно, хо является единственной общей точкой для всех шаров. Лемма доказана.
Определение. Пусть X — полное метрическое пространство, и пусть f : X X — отображение этого пространства в себя, причем существует вещественное число et с условием 0 < a < 1 такое, что для любых a,b Є X имеем
p(f(a)J(b))<ap(a,b).
Тогда отображение f называется сжимающим.
Докажем теперь принцип сжимающих отображений.
Теорема. Если f : X X — сжимающее отображение, то существует единственная точка Xo € X такая, что f(x0) = Xo-
