Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
298- Определение 5. Последовательность точек Xi, X2, ¦ ¦», хп,... метрического пространства (X1 р) называется последовательностью Коши или чаще фундаментальной последовательностью, если она удовлетворяет условию Коши, а именно: для всякого числа е > О наймется номер no = по(е) такой, что для всех номеров rii,n2 > по имеем р(хП1,хП2) < б.
Определение 6. Последовательность {хп Є А"} называется сходящейся к точке а Є Xy если числовая последовательность pn = р(хп, а) сходится к нулю при п, стремящемся к бесконечности.
Этот факт записывается так: Iim xn = а.
п-юо
Из неравенства треугольника легко можно показать, что такая точка а Є X единственна.
Определение 7. Метрическое пространство (X, р) называется полным, если всякая последовательность Коши сходится к некоторой точке а Є X.
Теперь обратимся к линейным пространствам, которые должны быть знакомы из курса высшей алгебры.
Определение 8. Множество X = {г} назовем линейным пространством, если выполнены следующие условия:
1) для любых двух элементов х,у Є X однозначно определен элемент z такой, что z = х 4- У, называемый их суммой, причем:
а) X + (у + z) = (х + у) + z\
б) х + у = у + х;
в) существует нулевой элемент 0, такой, что для любого X E X имеем X -f 0 = х;
г) для всякого X € X существует обратный элемент (—х), такой, что X -I- (—х) = 0;
2) для любого вещественного числа a и любого х Є X определен элемент ax € X (произведение элемента х Є X на число а Є К), причем:
а) a(?x) = (a?)x;
б) I-X = Xmt
3) операции сложения и умножения связаны свойством дистрибутивности:
а) (or + ?)x = ах + ?x\
б) а(х + у) = ах + ау.
Примерами линейных пространств являются n-мерное векторное пространство, пространство непрерывных функций С[а,Ь].
Элементы линейного пространства называются векторами.
299- Определение 9. Линейное пространство X называется нормированным, если для любого вектора х определена его норма ||х||, обладающая следующими свойствами:
1) HOjI = O;
2) для любого X ф 0 имеем )|х]| >0;
3) для всякого вещественного числа а имеем ||о?х|| = |а|||х||;
4) для любых элементов х,у Є X справедливо неравенство треугольника: ||х + г/|| < ||х|| + ||у||.
Заметим, что пространство С[а, Ь] функций, непрерывных на отрезке [а, 6], является нормированным пространством с нормой
П/П = max |/(х)|.
г€[а,6]
Утверждение. Функция р(х, у) = |jx — г/||, определенная на декартовом квадрате X2, где X — нормированное пространство, является метрикой на пространстве X.
Доказательство. Покажем, что функция р{х,у) является метрикой. Для этого надо проверить, что функция р(х,у): 1) неотрицательна; 2) симметрична и 3) удовлетворяет неравенству треугольника.
Действительно, имеем:
1) р{х,у) = I j JC — у|| > 0 и р(х,у) = ||х — j/|| = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2) р(х, y) = \\z-y\\ = \-l\- Il у _ х\\ = р(Уі х);
3) пусть a = X — z, b = z — у, тогда имеем
р(х, у) = ||а + *|| < Hall + Ц&ІІ = ||х - *|| + ||z - х|| = р(х, г) + p(z, у).
Утверждение доказано.
Определение 10. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.
Теперь мы переходим к определению гильбертова пространства. Для этого нам потребуется определение скалярного произведения. Пусть на множестве X задана структура линейного пространства. Определим функцию /(а, Ь) на декартовом квадрате X2, т.е. на множестве пар (а, 6), где а Є X, b 6 X. Пусть далее функция f(a,b} обладает следующими свойствами.
1°. Для любого элемента a ? X имеем /(а, а) > 0 при а ф 0 (положительность),
2°. Для любых элементов a,b G X имеем /(а, 6) = f(b, а) (симметричность) .
300- 3°. Для любых элементов а, 6, с € X имеем /(а, Ь+с) = /(а, 6)+/(а, с) (аддитивность).
4°. Для любых элементов а, 6 € X и любого вещественного числа Л справедливо равенство /(Aa, b) = /(а, ЛЬ) = А/(а, Ь) (однородность).
Функцию /(а, Ь) со свойствами I0 - 4° называют скалярным произведением. Будем записывать ее просто как (а, 6).
Оказывается, что функция \/(а, а) = ||а|| является нормой, и само пространство X с этой нормой, таким образом, является нормированным. ___
В самом деле, неотрицательность и однородность функции у (а, а) очевидна. Осталось проверить неравенство треугольника. Сначала докажем неравенство Коши:
(х,у)2 < (х,х){у,у).
Положим Xi = u^jj, ух = H^u. Тогда последнее неравенство следует из того, что |(xi,j/i)j < 1. Действительно, без ограничения общности можно считать, что (a?i,3/i) > 0, и тогда имеем
О < (x1 -jzbx1 - уг) = (xbx1) + (yi,yi) - 2(хі, j/i) = 2- 2(x1,y1),
откуда получим (xi,yi) < 1, что и требовалось доказать.
Докажем теперь неравенство треугольника:
у/(х + у, x + у) < у/(х,х) + у/(у, у). Используя неравенство Коши, имеем
II* + УІІ2 = (« + У, X + у) = (х, х) + (у, у) + 2(х, у) <
< ||х||2+ ||у||2 + 2||х||.||у|| = (||х|| + ||у||)2.
Полное метрическое пространство X с метрикой р(х,у) = ||х — у|| называется гильбертовым пространством. Следовательно, гильбертово пространство — частный случай банахова пространства X с нормой ||х|| = і/(х, х). Конечномерное гильбертово пространство называется евклидовым пространством. Рассмотрением этих пространств мы и ограничимся, и в дальнейшем более подробно будем изучать метрические пространства. Лекция 11
