Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
A2
J
Hi
f(x)g(x) dx
т.е. выдолняется условие Коши, поэтому интеграл I сходится. Теорема 1 доказана.
+ OO
T е о р е м а 2 (признак Абеля). Пусть интеграл f f(x) dx схо-
a
дится и пусть функция д(х) неотрицательна, монотонна и ограничена сверху на промежутке [а,+оо). Тогда интеграл
+ OO
= J f(x)g(x)
dx
250- сходится.
+оо
Доказательство. Поскольку / f(x) dx сходится, в силу
а
критерия Коши имеем: для всякого Єї > О существует В = В(є\), такое, что для всех ЛьЛг, A^ > Ai > В справедливо неравенство
A3
Jf W
dx
<
Далее, по второй теореме о среднем существует число Лз, Ai < A3 < А2 такое, что
A^ -Да A^
J f(x)g(x) dx = g(Ai) J f(x) dx + g(A2) J f(x) dx.
Ai Ai Л]
Положим M = sup <j(a:). Ho так как
x>a
As г A2 Ґ
/ /(*) dx < Sb / /« dx < ?1,
J A1 J A3
то получим
A2
I
f(x)g(x) dx
< 2Мєі.
Поэтому, ВЗЯВ Єї = 2ЙГ, будем иметь, что для любых чисел AiiA2, А2 > Ai > В (jfcr) справедливо неравенство
A3 /
f{x)g(x) dx
< є.
Следовательно, по критерию Коши интеграл І сходится. Теорема 2 доказана.
Примеры. 1. По признаку Дирихле при а > О сходится интеграл
+00 А
J s^dx, так как для любого А > 1 функция F(x) = /sin г dx 1 1
ограничена, а при а > О и при х. —> -Hoo функция х~а, монотонно убывая, стремится к нулю.
251- 2. Пусть f(x) — многочлен степени большей, чем 1. Тогда
+OO
сходится интеграл / sin f(x) dx.
о
Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент многочлена f(x) положителен. Тогда, начиная с некоторого А > О, производная его f'(x) будет положительна и монотонно возрастать к плюс бесконечности. Достаточно доказать, что сходится интеграл
+OO В
f sin f(x) dx. Для любого В > А в интеграле Jsin f(x) dx сделаем А А
замену переменной интегрирования у = f{x), х = /"Чу). Получим интеграл
Г1 (В)
[ sl?f л
/-1M)
По второй теореме О Среднем ОН ограничен величиной JiJfr^lA)) и ПРИ А —> -!-оо будет стремиться к нулю. А это и доказывает сходимость исходного интеграла. Лекция 11
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Определение 1. Пусть 1) функция f(x) задала на промежутке [а, 6) и не ограничена на нем;
2) для любого а, а < а < 6, функция f(x) ограничена и интегрируема на отрезке [а, а];
a
3) существует предел I = lim J f(x) dx.
a~*b— a
Тогда этот предел I называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке [а, 6]. При этом для предела I используется обозначение
о
dx.
Замечания. 1. Точка 6 называется особой точкой интеграла I.
2. Если предел / Є Ж существует, то говорят, что несобственный ь
интеграл J f{x) dx сходится, а если — нет, то говорят, что этот
интеграл расходится.
ь
3. Если особой точкой интеграла J f(x) dx является нижний предел
а
интегрирования, то несобственный интеграл второго рода определяется аналогично.
4. Если особая точка с лежит внутри отрезка [а, 6], то несобствен-
ь
ный интеграл / f(x) dx определяется как сумма двух несобственных
а
интегралов:
beb
J f{x) dx = j f(x) dx + j f{x) dx.
Пример. Справедливы равенства:
\ , I, f lim (l — а1~а) , если сефі,
j dx _ Г rfx _ I a-»0+ V ' ' 7^ '
J xа ~~ a->0+ J xа ~~ I lim (-lna), если a =1..
0 a I a-t-O+
1
Отсюда следует, что интеграл J ~ сходится при а < 1 и равен у~,
о
и расходится при а > 1.
253 Перейдем теперь к рассмотрению оснорных свойств несобственного
ь
интеграла второго рода на примере интеграла / f(x) dx с единственной
а
особой точкой 6. Эти свойства аналогичны свойствам несобственных интегралов первого рода.
1. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго
ь
рода. Для сходимости интеграла J f{x) dx необходимо и достаточно,
а
чтобы имело место условие Коши: для всякого є > 0 нашлось число S = 6(e) > 0 такое, что при любых аі,Л2 с условиями а^аг Є (6 — 6,6), агі < с*2, выполнялось неравенство
«2
j № dx ?*i
< е.
2. Общий признак сравнения. Пусть для всех х Є [а, 6) справедливо
ь
неравенство |/(х)| < д(х) и несобственный интеграл Jд(х) dx сходится.
а
Ь
Тогда сходится интеграл J f(x) dx.
а
Ь
3. Несобственный интеграл второго рода f f(x) dx называется абсо-
a
Ь
лютно сходящимся, если сходится интеграл /|/(х)| dx, и условно
а
сходящимся, если он сходится, но не абсолютно, т.е. интеграл 6
/ |/(х)| dx расходится.
a
Можно сформулировать признаки, аналогичные признакам Абеля и Дирихле для интегралов первого рода.
И наконец, любой интеграл с бесконечными пределами интегрирования (или одним бесконечным пределом интегрирования) и конечным числом особых точек можно рассматривать как сумму несобственных интегралов, каждый из которых имеет одну особую точку, являющуюся границей отрезка интегрирования (точки -foo и —оо также можно считать особыми), т.е. исследование любого несобственного интеграла сводится к несобственным интегралам первого и второго рода.
254- § 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕСОБСТВЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
