Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Для дальнейшего нам потребуется одна полезная лемма о спрямляемых кривых.
Лемма. Пусть кривая L задается уравнениями вида х = 'fi(t), у =. ifi(t), t Є [a, b] и является спрямляемой кривой. Тогда длина s(t) части этой кривой, соответствующей отрезку [а, t], где t G [а, 6], является непрерывной и монотонно возрастающей функцией параметра t.
Доказательство. Возрастание функции s(t) следует из свойства аддитивности длины дуги кривой. Действительно, при <i < t2 имеем s(f2) = s(ti) + ?o, где'«о — длина дуги кривой, находящейся
269- между точками А\ — Ф{1\)) и A2 = (^('2),^(^2)), т.е. величина
«о — положительна. Отсюда имеем: s(t2) > s(t 1).
Докажем, что функция s(t) не имеет разрывов. В самом деле, пусть в точке to функция s(t) имеет разрыв. Тогда в силу монотонности s(t) точка <о является точкой разрыва первого рода со скачком h > 0. Значит, для любого отрезка [t\,t2], содержащего эту точку to, длина дуги кривой, отвечающей этому отрезку [ti,t2], превосходит h.
Далее, исходная кривая L является спрямляемой, поэтому для всякого числа є > 0 существует вписанная ломаная I такая, что О < s(L) — < Є- Эта ломаная порождает неразмеченное разбиение T : а = to < ti < • • • < tn = 6, отрезка [а, 6], и каждая точка Ak = (<p(tk), ф^к)) отвечает некоторому узлу ломаной L Очевидно, для любого наперед заданного положительного числа S можно считать, что Aj < 6. Ясно, что длина Ik звена ломаной с номером к удовлетворяет условию
Ik < s(tk) - s(tk^ 1).
Пусть точка to принадлежит некоторому интервалу (tk-i,tk+i). В силу равномерной непрерывности функций <p(t) и ф(і) на отрезке [а,&] существует положительной число 6 такое, что для всех t'\t" с условием — і" I < S выполняются неравенства
Следовательно, имеем
h = VMn - АП)2 + W) - Ф(І"))2 < <
Отсюда и из условия спрямляемости кривой получим
h - 2~ < $(tk+1) - s(tk) - (lk + lk+1) < s(L) - s(l) < є.
Последнее неравенство справедливо при любом є > 0, но при є = | > О оно противоречиво. Следовательно, предположение о разрывности функции s(t) не имеет места. Лемма доказана.
Теорема. Пусть L — спрямляемая кривая. Тогда она имеет плоскую меру Жордана, равную нулю.
Доказательство. Разделим кривую L на п дуг, длина каждой из которых равна а = Это возможно, поскольку функция s(t) является монотонной и непрерывной. Тогда к-я дуга кривой L при к = 1,...,п целиком лежит внутри квадрата со сторонами, параллельными осям координат и равными 2а, и центром в к-й точке деления кривой L. Объединение всех квадратов образует простейшую фигуру Py целиком покрывающую, L, причем
,«ч2 1 S2(L)
р(Р) < n(2a) = An . —V" =-
Ui п
Устремим п к бесконечности, получим ?*(L) = 0, а значит, и p(L) = 0.
Теорема доказана.
270- Следствие. Пусть граница, фигуры P является спрямляемой кривой. Тогда P измерима по Жордану.
Доказательство. В силу критерия измеримости и предыдущей Теоремы получаем Измеримость фигуры P1 что и требовалось доказать.
§ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ И ИЗМЕРИМОСТЬЮ ПО ЖОРДАНУ ЕЕ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Рассмотрим криволинейную трапецию Pt ограниченную кривыми у = f(x)t у = О, x = а, x = Ь. Имеет место следующий критерий интегрируемости функции по Риману.
Теорема. Пусть функция f(x) ограничена и неотрицательна на отрезке [а, 6]. Тогда для интегрируемости функции f(x) по Риману необходимо и достаточно, чтобы криволинейная трапеция Pt отвечающая кривой у =/(я), была измерима по Жордану.
Доказательство. Необходимость. Нам дано, что функция f(x) интегрируема по Риману. Тогда в силу критерия интегрируемости имеем, что для любого є > 0 найдется разбиение отрезка [о, Ь] такое, что S(T)-$(Т) < St где S(T)t s(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие разбиению Т.
Заметим далее, что замкнутая простейшая фигура Pi, соответствующая верхней сумме Дарбу S(T)t объемлет криволинейную трапецию Р, а замкнутая простейшая фигура P2, соответствующая нижней сумме Дарбу s(T), вписана в нее, т.е. имеют место теоретико-множественные включения P2 С P С Pi и отвечающие им неравенства
s(T) = р(Р2) < р.(Р) < р*(Р) < p(P1) = S(T).
Поскольку справедливо неравенство S(T)-$(Т) = p(Pi) — p(P2) < ?, то р*(Р) — р*(Р) < є. Отсюда в силу произвольности выбора числа є > 0 будем иметь, что р*(P) = A^(P)1 т.е. криволинейная трапеция P измерима по Жордану. Необходимость доказана.
Достаточность. В силу критерия измеримости граница дР криволинейной трапеции P имеет плоскую жорданову меру нуль. Следовательно, плоская мера Жордана ее части: кривой L вида у = f(x), а < X < 6, — равна нулю. Поэтому для всякого є > О существует простейшая фигура Q такая, что L С Qt p(Q) < є- Продолжим вертикальные отрезки сторон стандартных прямоугольников, составляющих фигуру Qi до пересечения с осью Ох. Эти точки пересечения дадут разбиение T отрезка [а, 6]. Обозначим через Qi
271- простейшую фигуру, лежащую под фигурой Q в области у > O, а через Q2 обозначим фигуру Q U Qj. Тогда имеем
Qi CPCQ2, /i(Qa)-AiWi) =>(Q) < е.
Заметим, что фигуре Qi соответствует нижняя сумма Дарбу, а фигуре Q2 — верхняя сумма Дарбу. Следовательно, S(T) — s(Tj) < є, т.е. имеем
