Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO
таких, что A C U In и для любого натурального п имеет место
П=1
неравенство sn — Si H-----К Sn < е.
Это обозначают так: р(А) = 0.
Утверждение 1. Любое не более чем счетное множество точек {жп} на числовой прямой имеет лебегову меру нуль.
Действительно, можно взять интервалы с центрами в этих точках и длинами = с/2,.. .,Sn = е/2п,.... Тогда имеем
6 € / 1 \
= - +-----1- — = б 1 - —- < €,.
п 2 2" V /
Утверждение 2. Пусть В С А и р(А) = 0. Тогда и р(В) = 0.
Доказательство. Утверждение следует из того, что всякое покрытие множества А интервалами является и покрытием для множества В.
Теперь сформулируем критерий Лебега.
241 Теорема 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, 6] функция /(х) была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество А — точек разрыва этой функции имело лебегову меру нуль, т.е. р{А) = 0.
Прежде чем доказывать этот критерий, дадим его применения.
Теорема 2. Пусть функция д(х) интегрируема на отрезке [а, Ь] ит= inf ^(х), M = sup 0(х), и пусть функция f(t) непрерывна
*є[«,ь] *єМ1
на отрезке [m, Af]. Тогда функция f(g(x)) интегрируема на [а,Ь].
Доказательство. Пусть Xq — точка непрерывности функции д(х), тогда по теореме о непрерывности сложной функции Л(х) = f(g(x)) является непрерывной функцией в точке Xo-
Следовательно, точками разрыва функции Л(х) могут быть только точки разрыва функции д{х). Пусть А — множество точек разрыва д(х), а В ¦— множество точек разрыва Л(х). Тогда имеем В С А.
Поскольку функция д(х) интегрируема на отрезке [а, 6], по критерию Лебега получим, что /і(А) — 0. Отсюда в силу утверждения 2 имеем fi(B) = 0. Таким образом, по тому же критерию Лебега функция h(x) = f(g(x)) является интегрируемой на отрезке [а, 6]. Теорема 2 доказана.
ТеоремаЗ. Пусть функция /(х) монотонна на отрезке [а, 6]. Тогда она интегрируема на отрезке [а, 6].
Доказательство. Покажем, что множество точек разрыва функции /(х) является счетным. В главе IV §3 (теорема 1) доказано, что f(x) имеет разрывы только первого рода. Пусть Xo — точка разрыва, тогда в этой точке существуют левосторонний и правосторонний пределы: lim /(х) = li, Iim /(х) = причем
X—>Хо " I—+ЛГоЧ"
Ii ф h- На интервале с концами в точках Ii и h можно выбрать рациональное число г, и это рациональное число поставим в соответствие данной точке хо. Множество всех выбранных таким образом рациональных чисел г, как подмножество всех рациональных чисел, является не более чем счетным. По утверждению 1 не более чем счетное множество имеет лебегову меру, равную нулю. Следовательно, согласно критерию Лебега монотонная на отрезке функция будет интегрируемой на этом отрезке. Теорема 3 доказана.
§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРИТЕРИЯ ЛЕБЕГА
Пусть функция /(х) ограничена на отрезке [а, 6]. Обозначим через I = 1(6, хо) промежуток (хо — 6, хо + ?) П [а, 6], если Xo — внутренняя
242- точка отрезка [а,6], и соответственно, промежуток [а,а+?) или (Ь—Ь], если хо = а или х0 = Ь.
Определение. Колебанием функции /(х) в точке X0 назовем величину
w(x0) = w/(xo) = inf sup (/(х) - /(у)), другими словами, величина. w(x0) определяется равенством
w(xo) = inf (Ms (х0) - "I*(x0)),
где
Jlfi(X0) = sup /(x), m*(x0) = inf f(x).
Имеет место следующий критерий непрерывнбсти функции в точке.
JI е м м а 1. Функция /(х) непрерывна в точке X0 тогда и только
тогда, когда колебание w/(x0) функции /(х) в точке X0 равно 0.
« *
Доказательство. Необходимость. Предположим противное, т.е., что имеет место равенство Uj (хо) == а > 0. Рассмотрим последовательность Sn = 1/п, n = 1,2,... . Пусть / = I(Xfn). В силу определения инфимума имеем
sup (/(х) - f(y)) = Mlfn(Xo) - m1/n(x0) > а. *,у€/
Далее, в силу определения супремума получим, что существуют точки х„, уп Є I(Ifn), такие, что /(xn) - f(yn) > f > 0. Но так как длина промежутка /(1/п) стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности, то имеем Iim xn = Iim уп = X0.
п—юо П—ЮО
Переходя в последнем неравенстве к пределу, используя непрерывность функции /(х) в точке х0, получим 0 > f > 0. Имеет место противоречие.
Следовательно, -о»/ (х0) = 0.
Достаточность. Нам дано, что о>/(х0) = 0. Но тогда для всякого є > 0 существует S ~ S(e) > 0 такое, что для любых х,у Є /(?) имеем |/(х) — f (y)\ < є. Положим здесь у = Xq. Тогда получим условие непрерывности функции /(х) в точке х0. Лемма доказана полностью.
Доказательство критерия Лебега. Необходимость. Нам дано, что функция /(х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Надо доказать, что множество D точек разрыва функции /(х) имеет лебегову меру нуль.
Предположим противное, т.е. что множество D не является множество нулевой меры. Тогда существует число є о > 0 такое, что для лю-
OO
бого множества интервалов, покрывающих множество D, D С U Int
п=1
243- найдется натуральное число по с условием Si H-----h?no > ?о- Отметим,
что число по зависит от последовательности интервалов {/п}-
Рассмотрим теперь любое разбиение T отрезка [а, 6]. Среди отрезков [xk-i,Xk] разбиения T выделим те, внутри которых содержится хотя бы одна точка множества D. На каждом таком отрезке х*]
