Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
колебание функции /(х) не меньше, чем а. Сумма длин этих отрезков будет не меньше, чем Sq, поскольку множество D содержится в них, за исключением, быть может, конечного числа точек, попадающих в точки Xft разбиения Т. ( Если бы оказалось, что сумма длин указанных отрезков была бы меньше, чем Єо, то, покрывая
точки Xk Є D конечным числом интервалов так, чтобы общая сумма длин всех интервалов, покрывающих Di оказалась меньше, чем ео, получим систему интервалов, покрывающих D и имеющих <}бщую длину, меньшую, чём ?о, что невозможно.)
Таким образом, для любого разбиения T отрезка [а, 6] имеем
Q(T) > аєо.
Следовательно, inf ft(T) > аєо > 0, а это в силу критерия интегрируй
емости функции по Риману означает, что функция f(x) не является интегрируемой. Противоречие. Необходимость доказана.
Достаточность. Для любого е > О построим разбиение T такое, что Q(T) < ?. Пусть M = max |/(а:)|. Положим S = jjffi01 — 2(Ь-а) •
Так как множество D имеет лебегову меру нуль, то его можно покрыть системой интервалов /, имеющих сумму длин меньшую, чем &. В каждой точке Xo множества К = [а, 6] \ I колебание функции /(х) равно 0, поэтому существует интервал, покрывающий эту точку хо, на котором колебание функции будет меньше, чем а. Итак, получим систему интервалов J, покрывающих множество К. Из системы интервалов /UJ, покрывающих отрезок [а, 6], можно выделить конечное покрытие [а, Ь]. В качестве точек х* разбиения T концы интервалов этого конечного покрытия.
Сумму Q(T) представим в виде ft(T) = Q1 -I-Q2, где Qi и Q2 представляют собой суммы слагаемых вида Ax*, причем в первой сумме Qi переменная суммирования к пробегает значения, удовлетворяющие условию (xk-i,Xk) С It а все оставшиеся значения к входят во вторую сумму Q2.
Тогда для Q(T) получим оценку вида
Q(T) = Qi + Q2 < 2MS + а(Ь - а) = ~ + - t.
& Лі
Отсюда в силу того, что inf Q(T) = 0, следует интегрируемость функции f(x). Теорема доказана полностью.
244- При использовании критерия Лебега (в частности, для доказательства неинтегрируемости функции по Риману) иногда бывает полезна другая его формулировка в виде приведенной ниже, теоремы. Докажем сначала одно вспомогательное утверждение — лемму 2.
Пусть D(a) обозначает множество точек отрезка [а, 6], дЛя которых выполнено неравенство и>(х) > а,
Л е м м a 2. Множество точек D(a) является замкнутым.
Доказательство. Пусть хо является предельной точкой множества D(а). Тогда существует последовательность {хп}, сходящаяся к X0 при п оо, причем колебание функции f(x) в точках хп не меньше, чем о, т.е. ш/(хп) > а. Заметим, что каково ни было число S > 0, найдется член последовательности хп Є /а(х0). Положим
Si = min (хп —хо + S, хо + S — х„),
т.е. величина <їі равна расстоянию от точки хп до границ интервала Is(хо). Тогда получим, что U1 (х„) С /г(®о). Отсюда имеем
Ms(xо) - тг(х0) > Msl(Xn) - TYisl(Xn) > а>/(х„) > а.
Так как при произвольном числе S > О имеем неравенство Ms(хо) — та(х0) > а, то
inf(Ms(x0) - тл(х0)) = Uf(X0) > ос. ?>0
Следовательно, всякая предельная точка множества D(a) принадлежит ему самому, т.е. D(a) — замкнуто. Лемма доказана.
Теорема. Для того чтобы ограниченная на отрезке [о, 6] функция была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для любого a > О множество D(a) имело лебегову меру нуль.
Д о, к а з а тел ь с те о. Необходимость. Поскольку функция /(х) интегрируема по Риману, по доказанному выше критерию Лебега мера множества точек разрыва ее равна нулю, ft(D) = 0. Но для любого а > 0 имеет место следующее включение D(a) С D. Следовательно, /л(?>(о)) = 0. Необходимость доказана.
OO
Достаточность. Очевидно, D= U D(Ijn). По условию теоремы
П = 1
для любого натурального числа п имеем n(D(l/n)) = 0. Следовательно, ?(D) = 0, и по критерию Лебега функция /(х) интегрируема. Теорема доказана. Глава IX
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 10
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО РОДА
Наша дальнейшая цель состоит в распространении понятия интегрируемости функции по Риману на новые классы функций, а именно:
1) на функции, заданные на бесконечном промежутке;
2) на неограниченные функции. .
Понятие предела, которым мы владеем, позволяет достичь этой цели без особого труда, а обобщение понятия интеграла Римана цри этом называется несобственным интегралом. Для первого случая интегралы типа
оо а оо
J f(x) dx, J f(x) dx, J f(x) dx
а —оо —oo
называются несобственными интегралами первого рода, во втором случае, когда функция f(x) является неограниченной на конечном
ь
отрезке [а, 6], интеграл f f(x) dx называется несобственным инте-
а
гралом второго рода.
Случай, когда и промежуток интегрирования, и сама функция не ограничены, не вносит ничего нового в эту проблематику, так как его можно свести к случаю несобственных интегралов первого и второго родов простым разбиением промежутка интегрирования на части, и потому отдельно мы его рассматривать не будем. Разберем более подробно понятие несобственного интеграла первого рода, при этом
