Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
ь ь
J f{x)g{x) dx = f(c) J g(x)dx.
а а
Доказательство. По теореме Коши о промежуточном значений непрерывной функции на отрезке существует точка с, а < < с < 6 такая, что ц = /(с), тп < ц < М. Отсюда в силу теоремы 1 получаем утверждение следствия.
Следствие 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь]. Тогда на отрезке [а, Ь] найдется точка с такая, Что
ь
J f(x)dx = f(c)(b-a).
a
Доказательство. Данное утверждение получается из следствия 2 при = 1.
Замечание. Среднее арифметическое значений арифметических функций на отрезке [а, 6] стремится к величине
ь
. гЬ Jf{x)dx<
а
поэтому говорят, что интеграл — это среднее значение функции f(x на отрезке [а, Ь].
Teop ема2 (вторая теорема о среднем значениии). Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6] Пусть, далее, функция д(х) на этом отрезке неотрицательна и не убывает. Тогда на отрезке [а, b] найдется точка с такая, что
ь ь
J f(x)g(x) dx = g(b) J f(x) dx.
a с
Доказательство. Рассмотрим последовательность разбиений Tn : а = хо <•••< xn = b с условием, что диаметр Tn, равный Sn, стремится к нулю при п —> оо. (Например, всегда можно
228- считать, что разбиение Tfi отрезка [а, Ь] есть разбиение на п равных
частей и тогда (Jn = X-Jn). Положим
?
^n = EffM / f(x)dx,M= sup j/(*)|,
K-L Sfc-I
Uk(g) = sup \g(x') - g(x")\ = g{xk - 0) - д(хк-.г + 0). x',x"?Ak
Имеем
b n Xk
M - / f(x)g(x) dx = Yj {g(xk) - g(x))f(x) dx
Jt-I
a K-lXk-!
<
n у n
<1>*Ы / \f(x)\dx< MSnY^k{g) <MSng(b).
Следовательно,
о
lim an = / /(ж)зг(ж) tte. п-юо J
Поскольку интеграл как функция нижнего предела есть непре-
г
рывная функция, функция F(x) = J f(t) dt является непрерывной и
X
достигает своего минимального и максимального значений на отрезке [а, 6], соответственно, в точках а и ?. Теперь преобразуем сумму <тп • Имеем
( f
ь \
) dx — J f(x) dx
Xk
n
к=1 n-1
k=l n
- -'YsMF(Xk) =
к=Q
к=1
n-1
0(z!)F(a) + Y(9(xk+i) - g(xk))F(xk).
229- Так как для любого х Є [а, 6] справедливы неравенства
и функция д(х) не убывает^ то из последнего неравенства для <тп получим
F(a)g(b) < <тп < F(?)g(b). Переходя к пределу при п -> OO, будем иметь
6
^ («)*(Ч < / /(*)*(*) d* < F(Mb)*
т. е.
b
п«) <щ! п*ш <** < т-
Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [а, 6], по теореме Коши о промежуточном значении найдется точка с E [а, 6], такая, что
или
о
F(C) = Щ / /(»)»(«) ax
а
Ь Ъ
j f (x)g(x) dx = g(b) J f(z) dx.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Пусть, далее, функция д(х) на этом отрезке неотрицательна и не возрастает. Тогда на отрезке [а, 6] найдется точка с такая, что
V ъ.
J f (x)g(x) dx = g(a) J f(x) dx.
Доказательство. Положим = — х, Jx(X1) = = /(—®), ^i(aji) = g(~-x). Тогда в силу того что 9(х) не возрастает на отрезке [а, 6], то функция gi(xi) не убывает на отрезке [—6,—а]. Поэтому к функциям /і(а?і) и («і) можно применить теорему 2. Отсюда следует, что на отрезке [—6, —о] найдется точка —с такая, что
-а -<$
J fi(xi)gi(xi) dxi =0i(-a) J J1(X1) dxx.
230- В интегралах последнего равенства сделаем замену переменной вида X=-Xi- Получим
о с
J f(x)g(x) dx = д(а) j f{x) dx.
Теорема 3 доказана.
Следствие. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6] Пусть, далее, функция д(х) монотонна на этом отрезке. Тогда на отрезке [а, Ь] найдется точка с такая, что
ь с ь
J f(x)g(x) dx = g(a) J f(x) dx + g(b) J f{x) dx.
a a с
Доказательство. Пусть сначала функция ^(х) не убывает на отрезке [а,6]. Тогда функция д\(х) = д(х) — д(а) будет неотрицательной и неубывающей на этом отрезке. Следовательно, по теореме 2 имеем
D О
I f (X)91(X) dx = gi(b) j f(x) dx.
Подставляя сюда выражение для <7i(x), получим утверждение следствия.
Пусть теперь функция д(х) не возрастает на отрезке [а, 6]. Тогда, положим, gi(x) = д(х) — д(а). Функция (х) — неотрицательная и невозрастающая. Следовательно, к функциям f(x) и gi (х) применима теорема 3. Отсюда и следует искомая формула. Следствие доказано.
Пример. Пусть b > а > 0. Тогда справедливо неравенство
о /
srnx
X
dx
<1. ~ а
Действительно, функция і — положительна и невозрастающая на отрезке [а, Ь]. Тогда по теореме 3 найдется точка с E [а, 6] такая, что
/sin X 1Z*-
-dx = - I si
х a J
sin X dx
I cos с — cosa| 2 a a
Наконец, приведем вариант доказательства второй теоремы о среднем для гладких функций.
231- Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна и функция д(х) дифференцируема на отрезке [а, 6], причем производная д'{х) на этом отрезке неотрицательна и непрерывна. Тогда на отрезке [а, 6] найдется точка с такая, что
Ь с Ь
J f (x)g(x) dx = g(a) J f(x) dx + J f(x) dx.
a a с
Доказательство. Пусть
t
F(t) =J f(x)dx.
a
Тогда функция F(t) как функция верхнего предела является дифференцируемой, поскольку подынтегральная функция f(x) — непрерывна. Следовательно, имеем
