Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO
остановимся только на случае интегралов вида f f(x) dx.
а
Определение. Пусть а — вещественное число и пусть для любого А> а функция f(x) интегрируема, по Риману на отрезке [а, А] и
А
_ F(A) = J f(x) dx.
246- Если при А +оо существует предел
I= lim F(A),
Л—*+OO
то этот предел I называется несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на промежутке [a,-j-oo).
Для интеграла /- используется обозначение:
I = f fix) dx
Если предел I существует, то говорят, что'несобственный интеграл
OO
сходится. Если же этот предел не существует, то выражение / f(x) dx
a
понимают как некий символ, который тоже называют несобственным интегралом, но говорят про него, что он расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл вида
a a
f f(x) dx = lim f f(x) dx, J A-*-оо J
-oo
+OO
а несобственный интеграл J f(x) dx понимают как сумму двух
, -OO
несобственных интегралов
оо О +оо
J f(x)dx= J f(x)dx + J f(x)dx.
a —оо О .
Замечания. 1. В отличие от несобственных интегралов обычный интеграл Римана по конечному промежутку называется собственным.
2. Из свойств собственного интеграла и определения несобственного интеграла для любых вещественных а и Ь тривиально имеем
і
Ь +оо +оо
Jf(x) dx+ J f(x) dx= J f(x) dx.
aba
Примеры. 1. При о > О справедливо равенство
M
Iim т-Ц-М1-« - а1""), если аф 1, Iim (InЛ —Ina), если а = 1.
А->+оо
247- Отсюда следует, что этот интеграл сходится при а > 1 и равен и расходится при а < 1.
2. При натуральном числе п интегрированием по частям получим
+ OO
J tne-*dt = n\.
о
§ 2. КРИТЕРИЙ КОШИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Из критерия Коши существования предела функции при А —> ор непосредственно получается следующая теорема.
Теоремаї (Критерий сходимости несобственного интеграла
+ OO
первого рода). Для сходимости интеграла, J f(x) dx необходимо и
a
достаточно, чтобы выполнялось условие Копій, т.е. чтобы для всякого є > О существовало число В — В (є) > О такое, что для всех чисел Ai, A2, больших В, выполнялось неравенство
Л-І /
f(x) dx
< є.
Символически это условие Коши можно записать так: Ve > 03В = В{є) > О : VA1, A2 > В
J
dx
< є.
Теорема 2 (общий признак сравнения). Пусть для всех X Є [а, +оо) спразедливо неравенство |/(х)[ < д(х) и пусть интеграл
+OO +OO
f д(х) dx сходится. Тогда будет сходиться интеграл f /(х) dx.
a a
Доказательство. Докажем, что выполнено условие Коши для сходимости несобственного интеграла от функции f{x). В силу сходимости интеграла от функции д(х) имеем, что для любого є > О существует В = В (є) > О такое, что при любых AifA2, Ai > A2 > В
A3
справедливо неравенство J д(х) dx < є. Но поскольку
A1
Ai Ai Аз
J /(х) dx < j |/(х)| dx < J д(х) dx'
Ui
A1
248- условие Коши выполняется и для интеграла от функции f(x) с тем же самым В = В(є). Теорема 2 доказана.
Пример. Пусть при некотором а > 1 и при х оо выполняется неравенство
т.е. пусть существуют С > О И Xo — Xo (с) > 0 такие, что |/(х)| < сх~а
+ OO
при X > хо- Тогда интеграл J f(x) dx сходится.
а
Действительно, имеем
+оо Xo +оо
J f{x) dx = J f{x) dx+ J f{x) dx.
a a Xo
Первый из интегралов суммы является собственным, а второй инте-
+ OO +OO
грал f f(x) dx сходится по признаку сравнения, поскольку f ^f-
xq xq
сходится при а > 1.
§ 3. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И
ДИРИХЛЕ
Сначала дадим определения понятий абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
+OO
Определение 1. Несобственный интеграл J f{x) dx называется
a
+оо
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J \f(x)\ dx.
a
+оо
Определение 2. Несобственный интеграл f f(x) dx называется
a
+ OO
условно сходящимся, если интеграл f f(x) dx сходится, а интеграл
•а
+ оо
/ j/(x)| dx расходится.
a
Из общего признака сравнения непосредственно следует, что абсолютная сходимость интеграла влечет за собой его условную сходимость. Обратное неверно.
Как и ранее, будем считать, что функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Л] при любом А > а.
249- Теорема 1 (признак Дирихле). Пусть при любом числе
X
X € [а, +оо) функция Р(х) = f f(u) du ограничена и пусть функция
а
д(х) неотрицательна и, не возрастая, стремится к нулю при х —? +оо. Тогда интеграл
+ OO
I= J f(x)g(x)dx
сходится.
Доказательство. Поскольку функция д(х) на плюс бесконечности не возрастает и стремится к нулю, для всякого Єї > 0 существует В = В(єі) > а такое, что для всех х > В имеем неравенство О < ^(х) < Ei- Пусть, далее, M = sup |F(x)|. Тогда по
х>а
второй теореме о среднем для любых At, A2, A2 > Ai > В найдется такое число A3, Ai < A3 < A2, что
Аз .Aj
Jf(x)9(x) dx = g(Ai) J f(x)
dx
A3 ¦ л
<Є1 / /(*) dx
- J Wi
ei
A3 A1
j f(x) dx- J f(x) dx
< 2єі M.
Если теперь мы зададимся произвольным є > 0, то, взяв є і — 2^, получим, что для любых Al, A2, A2 > Ai > В (jfr) выполнено неравенство
