Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 68

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 201 >> Следующая


ь ь

I = J f(x)g(x)dx = Jg(x) dF(x).

а а

Интеграл I проинтегрируем по частям. Получим

6

/ = «7(x)F(x)|be - J F(x) dg(z).

а

Но так как д'(х) неотрицательна, F(x) и д'(х) непрерывны на отрезке [а, 6], то по первой теореме о среднем значении интеграла имеем

ь ь

J F(X)9'(х) dx = F(c) J,'(х) dx = F(c)(g(b) - д(а)).

а а

Следовательно,

с 6

/ = g(b)F(b) - g(b)F(c) + g(a)F(e) = д(а) J f(x) dx + д(Ь) J f(x) dx.

а с

Теорема 4 доказана. Лекция 9

§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В

ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Равенство, которое доказывается в следующей теореме, называется формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Теорема. Пусть п > О — целое число и пусть функция f(x) имеет (п-Ь 1}-ю непрерывную производную на отрезке [а, 6]. Тогда имеет место формула

f(b) = /п(а, b) + Rn(ayb),

где fn(a,b) — многочлен Тейлора, т.е.

ДМ) = /(«) + а) + '' •+ «Г,

и остаточный член Rn(a,b) имеет вид

ь

Rnfab) = ^J f{n+1)(t)(b -t)n dt

a

Доказательство проведем методом математической индукции. При n = 0 должно иметь место равенство

ъ ь

т = /(«) +" № dt = f(a) + J f(t) dt

a a

Это есть формула Ньютона - Лейбница. Так что при n = 0, теорема доказана.

Пусть при n = к утверждение теоремы уже доказано, т.е. справедливо равенство

/(6) = ДМ) + Я*М).

Докажем его при n = Ar + 1. Для этого проинтегрируем по

частям. Получим

ь

Rk(a,b) = і j /*+Ч(І)(* - 0* * = "ff^jj / /(t+1,W d(b - ()*+1 =

a

233 = + vdiyjf{k+2)^t)k+l dt =

a

a

Подставляя это выражение в равенство, справедливое по предположению индукции при п = к, будем иметь

f(b) = fk+1(a,b) + Rk+1(a,b).

Теорема доказана.

Замечания. 1. После замены переменной интегрирования вида t = а+«(6-а) остаточный член в формуле Тейлора можно представить в виде

і

Rn(a, b) = {Ь J /<"+1>(а + «(6 - а))( 1 - и)п du.

о

2. Если применить к остатку Rn(а, Ь) теорему о среднем, то можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха - Роша, но, правда, при более жестких условиях на функцию f(x). Действительно, при любом а >0 имеем

ь

= h.j f(n+1)W(b-t)n^~a(b~tr'1 dt =

а

- -L/(п+1,(с)(Ь - с)п+1"л(Ь - а)а,

где с — некоторая точка интервала (а, 6).

В" качестве примеров получим формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме для некоторых элементарных функций при а = 0 ш Ь = х. В двух первых примерах воспользуемся формулой Тейлора из доказанной выше теоремы, а в остальных ее вывод- мы упрощаем за счет применения специальных приемов.

Показательная функция. Из теоремы следует, что

е* = ! + * + ?_ + ... + !- + Rni

2! п!

где

xn+1 Г

Rn = Яп(0, х) = / e*u(l - и)п du.

о

234- 2. Тригонометрические функции. Имеем • п с_IjpSJk-I

Slnz = g (2fc — 1)! + д"' "" = 2-(55)1--1""-

где

(-l)nx2n+1 1

Rn = / (! - «)гп+І «•«»

r" = ^-Sr/(1_ u^cosuidu-

О

3. Логарифмическая функция. Пусть /(л) = In (1 + х). Тогда по формуле суммы геометрической прогрессии получим

(-«г

0

1



Интегрируя это равенство пределах от 0 до х, найдем

/(х) = ln(l + х) = (-1)*"1** + Jin Jttg = ^irJMt

A =1 о

4. Лркгтангенс. Пусть /(х) = arcfcg х. Тогда

п-1

2\п



_ + X'

A=O - "Г *

Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х. Получим

f — 1 Гї«+1 с і

arctg і = ^ 2; + 1 H- Дц. Д, = (-1 )"уг

A=O Q

+ І2

Из теоремы о среднем следует, что существует величина 9 = в(х) такая, что 0 < в < 1 и

1 + вх2 2п + 1'

Отсюда имеем, что при |х| < 1 предел Rn равен 0 при п —> оо, т.е.

OO , Jk

при < 1 сходится ряд Yl 2?"*2**1 И он Равен arctg X.

A=O

235- 5. Формула бинома. Пусть /(ж) = (1 + ж)а. Ранее было доказано (ч. I, лекция 23, пример 5), что многочлен Тейлора <;{х) = igrn_i(a;), п > 2, этой функции в окрестности точки х = 0 имеет вид

/ ч , а(а — 1).. .(<* — га + 2) „_і V^ к д(х) = 1 + ae + ...+ -^--}-хп 1 = Jja** >

\ Ar=O

OO

и, более того, ряд Тейлора Yl акХк сходится при |х| < 1 и равен

к=0

(1 + х)а. Далее, функция /(х) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

а/(х)-(1 + х)/'(х) = 0.

Подставляя в это уравнение вместо функции /(х) ее ряд Тейлора и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях аргумента х, получим равенства

как - (а - к + l)a*_i = 0, к > 1.

Отметим, что справедливость их можно проверить непосредственно. Найдем формулу для выражения h(x) = ад(х) — (1 +х)д'(х). Имеем

tl — 1 п-1 ,

h(x) = a a*xfc - (1 + х) ^ fca*x*_1 =

к—О к=1

>

п-1 п-2 п-1

= J^aafcX* - l)afc+ixfc - Y какхк =

A=O At=O A = I

п-2

= (aeo-ai)-|-J]((a-/:)afc-(/: + l)afc+1)xfc4-(aan_i-(n-l)ari_1)xn-1 = к=1

= (a - п + l)a„_ixn_1 = nanxn~l.

Следовательно, остаточный член R = Rn{x) = f(x) — д(х) формулы Тейлора удовлетворяет уравнению

с*Я-(1-i-xJH'= TianXn"1,

т.е. справедливо равенство

\(1 + х)

папх

п-1

(1 + х)«+1'

236- Интегрируя его в пределах от 0 до х, получим

г

R = Rn(X) = пап(1 + х)а J

* tn'ldt

(1 + t)a+1 о
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed