Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
ь ь
I = J f(x)g(x)dx = Jg(x) dF(x).
а а
Интеграл I проинтегрируем по частям. Получим
6
/ = «7(x)F(x)|be - J F(x) dg(z).
а
Но так как д'(х) неотрицательна, F(x) и д'(х) непрерывны на отрезке [а, 6], то по первой теореме о среднем значении интеграла имеем
ь ь
J F(X)9'(х) dx = F(c) J,'(х) dx = F(c)(g(b) - д(а)).
а а
Следовательно,
с 6
/ = g(b)F(b) - g(b)F(c) + g(a)F(e) = д(а) J f(x) dx + д(Ь) J f(x) dx.
а с
Теорема 4 доказана.Лекция 9
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В
ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Равенство, которое доказывается в следующей теореме, называется формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Теорема. Пусть п > О — целое число и пусть функция f(x) имеет (п-Ь 1}-ю непрерывную производную на отрезке [а, 6]. Тогда имеет место формула
f(b) = /п(а, b) + Rn(ayb),
где fn(a,b) — многочлен Тейлора, т.е.
ДМ) = /(«) + а) + '' •+ «Г,
и остаточный член Rn(a,b) имеет вид
ь
Rnfab) = ^J f{n+1)(t)(b -t)n dt
a
Доказательство проведем методом математической индукции. При n = 0 должно иметь место равенство
ъ ь
т = /(«) +" № dt = f(a) + J f(t) dt
a a
Это есть формула Ньютона - Лейбница. Так что при n = 0, теорема доказана.
Пусть при n = к утверждение теоремы уже доказано, т.е. справедливо равенство
/(6) = ДМ) + Я*М).
Докажем его при n = Ar + 1. Для этого проинтегрируем по
частям. Получим
ь
Rk(a,b) = і j /*+Ч(І)(* - 0* * = "ff^jj / /(t+1,W d(b - ()*+1 =
a
233= + vdiyjf{k+2)^t)k+l dt =
a
a
Подставляя это выражение в равенство, справедливое по предположению индукции при п = к, будем иметь
f(b) = fk+1(a,b) + Rk+1(a,b).
Теорема доказана.
Замечания. 1. После замены переменной интегрирования вида t = а+«(6-а) остаточный член в формуле Тейлора можно представить в виде
і
Rn(a, b) = {Ь J /<"+1>(а + «(6 - а))( 1 - и)п du.
о
2. Если применить к остатку Rn(а, Ь) теорему о среднем, то можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха - Роша, но, правда, при более жестких условиях на функцию f(x). Действительно, при любом а >0 имеем
ь
= h.j f(n+1)W(b-t)n^~a(b~tr'1 dt =
а
- -L/(п+1,(с)(Ь - с)п+1"л(Ь - а)а,
где с — некоторая точка интервала (а, 6).
В" качестве примеров получим формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме для некоторых элементарных функций при а = 0 ш Ь = х. В двух первых примерах воспользуемся формулой Тейлора из доказанной выше теоремы, а в остальных ее вывод- мы упрощаем за счет применения специальных приемов.
Показательная функция. Из теоремы следует, что
е* = ! + * + ?_ + ... + !- + Rni
2! п!
где
xn+1 Г
Rn = Яп(0, х) = / e*u(l - и)п du.
о
234-2. Тригонометрические функции. Имеем • п с_IjpSJk-I
Slnz = g (2fc — 1)! + д"' "" = 2-(55)1--1""-
где
(-l)nx2n+1 1
Rn = / (! - «)гп+І «•«»
r" = ^-Sr/(1_ u^cosuidu-
О
3. Логарифмическая функция. Пусть /(л) = In (1 + х). Тогда по формуле суммы геометрической прогрессии получим
(-«г
0
1
Интегрируя это равенство пределах от 0 до х, найдем
/(х) = ln(l + х) = (-1)*"1** + Jin Jttg = ^irJMt
A =1 о
4. Лркгтангенс. Пусть /(х) = arcfcg х. Тогда
п-1
2\п
_ + X'
A=O - "Г *
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х. Получим
f — 1 Гї«+1 с і
arctg і = ^ 2; + 1 H- Дц. Д, = (-1 )"уг
A=O Q
+ І2
Из теоремы о среднем следует, что существует величина 9 = в(х) такая, что 0 < в < 1 и
1 + вх2 2п + 1'
Отсюда имеем, что при |х| < 1 предел Rn равен 0 при п —> оо, т.е.
OO , Jk
при < 1 сходится ряд Yl 2?"*2**1 И он Равен arctg X.
A=O
235-5. Формула бинома. Пусть /(ж) = (1 + ж)а. Ранее было доказано (ч. I, лекция 23, пример 5), что многочлен Тейлора <;{х) = igrn_i(a;), п > 2, этой функции в окрестности точки х = 0 имеет вид
/ ч , а(а — 1).. .(<* — га + 2) „_і V^ к д(х) = 1 + ae + ...+ -^--}-хп 1 = Jja** >
\ Ar=O
OO
и, более того, ряд Тейлора Yl акХк сходится при |х| < 1 и равен
к=0
(1 + х)а. Далее, функция /(х) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
а/(х)-(1 + х)/'(х) = 0.
Подставляя в это уравнение вместо функции /(х) ее ряд Тейлора и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях аргумента х, получим равенства
как - (а - к + l)a*_i = 0, к > 1.
Отметим, что справедливость их можно проверить непосредственно. Найдем формулу для выражения h(x) = ад(х) — (1 +х)д'(х). Имеем
tl — 1 п-1 ,
h(x) = a a*xfc - (1 + х) ^ fca*x*_1 =
к—О к=1
>
п-1 п-2 п-1
= J^aafcX* - l)afc+ixfc - Y какхк =
A=O At=O A = I
п-2
= (aeo-ai)-|-J]((a-/:)afc-(/: + l)afc+1)xfc4-(aan_i-(n-l)ari_1)xn-1 = к=1
= (a - п + l)a„_ixn_1 = nanxn~l.
Следовательно, остаточный член R = Rn{x) = f(x) — д(х) формулы Тейлора удовлетворяет уравнению
с*Я-(1-i-xJH'= TianXn"1,
т.е. справедливо равенство
\(1 + х)
папх
п-1
(1 + х)«+1'
236-Интегрируя его в пределах от 0 до х, получим
г
R = Rn(X) = пап(1 + х)а J
* tn'ldt
(1 + t)a+1 о