Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы доказали, что имеет место формула
or(or — 1). •. (а — п -H 2) _ ,
1 + X а = 1 + ах + • ¦ ¦ + -i-1--^xn-1 + г
(п — 1)!
і
а(а-1)...(а-п+1) Лв „ [ un~ldu г =--1 ~ ~
(l + x)axn J
(п — 1)! v jJ (1+XU)«+1*
о
6. Арксинус. Пусть f(x) = aresin х. Тогда имеем /'(х) — (1 —х2)-1/2.
Отсюда по формуле бинома получим
Л„ =, _ ?+... + +г,
r = Н) Н-0- -(-Ь"+1)(1 _ Х2^1,2Х2П [ "-1^
J (1 — x2u
(п-1)! 1 1J (l-x2u)«+1-
о
Далее, имеем
(-^)(-1-1) --H-*) = , ^fc (2fc-l)u а(2ЛГ - 1)!!
*! 1 J 2*fc! 1 ; (2*)!! '
Следовательно,
< 1(2п-1)П X2n f ип~Чи
И - 2(2п-2)!!Л/ГГ^У vT^U
Используя формулу понижения, получим
/^ = 2/(1-^-^ = ^,2"-^-J у/г^й Jk 1 (2п — 1)!!
о
Отсюда имеем
IrK
х2га
Vl - X2' 237 Теперь проинтегрируем формулу для f'(z). Тогда при некотором 0 = 0(х), |0| < 1 получим
где
t2ndt
о
Заметим, что предел последовательности (Rn) при п —оо равей О, если |х| < 1. Следовательно, при |х| < 1 ряд Тейлора
' ~ (2А-1)!!
Й (2*)!! 2*+1 сходится к функции arcsin х.
x
7. Интегральный синус. Пусть функция f(x) = f si^dt. Тогда из
о
примера 2 имеем
г fa (2*-1)! + '
где
Г" Г"(і) = (2n+f)! /(1 ~ U)2"+1008(ttl) dU-
О
Интегрируя равенство для /'(х) в пределах от 0 до х, получим
где
|r(t)|d<< ^2п-Ц)!(2п + l)(2n + 2)
О
Отсюда следует, что для любого х E Ж выражение R стремится к нулю при п —> оо. Следовательно, для любого X Є M имеет место разложение в ряд Тейлора
f ^Rldf - V4 И)*"1*2*"1
238- § 6. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема !(неравенство Гельдера). Пусть р, д > 0, р + q = 1 и пусть /(я), д(х) интегрируемы яа отрезке [а, 6]. Тогда справедливо неравенство
о
I
f{x)g(x) dx
ь \ 1/Р / 6 х 1/9
< I / |/(«)|'dx J I / Ig(z)\* dx
Доказательство. Функции (/(х)|р, |^(х)|9 интегрируемы на отрезке [а, 6] по теореме об интегрируемости сложной функции (теорема §9 гл. VII).
Рассмотрим разбиение Tn : а = хо < • •• < Xn = Ь отрезка [а,6] на п равных частей. Тогда, искомое неравенство получается предельным переходом в неравенстве для их интегральных сумм
п
A=I \fc=i / Vfc=I
или эквивалентном неравенстве
/ n \ 1ZP / n \ 11я
<(Еі/(»)г E i»(«)if
b — а
1/9
п
п
^/(ХкЫхк)
Jfc=I
\к=1
Kk-I
Последнее же неравенство есть неравенство Гельдера для сумм (§8 гл. V). Теорема 1 доказана.
При р = q = 2 приведенное выше неравенство называется неравенством Коши — Буняковского.
Теорема 2 (неравенство Минковского — обобщенное неравенство треугольника). Пусть р > 1, и пусть /(х), д(х) интегрируемы на отрезке [а, fr]. Тогда справедливо неравенство
ь \1/Р / ь \1/р / ь 4 1/р
J |/(х) + g(x) P dx J <П \f(x) \Р dx J I д(х) \р d?
Доказательство. Случай р = 1 — очевиден. Возьмем, как и в предыдущей теореме 1, разбиение Tn отрезка [а, 6] на п равных частей. Тогда достаточно доказать неравенство для соотвествующих интегральных сумм
ti п
1/р
<
239- n . /.„ \ 1/p
b-a\ I*-*,, 4P о - Д
< Ei/wr^ + Ebwi
Jc = I
Jfe=I
П
ИЛИ
1ZP / n \ 1ZP / „ \ 1ZP
Ei/(**)+< (Eizwip +(EWaj)IpI
ut=i
ot=i
Jc=I
Последнее же неравенство есть неравенство Минковского для сумм (§8 гл. V). Теорема 2 доказана.
T е о р е м а 3. Пусть функции fi(x),..., fm(x) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Тогда справедливо неравенство
\
' ь \ /о \
Jfl(x)dx\ +'"+I/ fm{x)dx\ < JyJm*) + •••+&{*)**-
Д о к а з a m е л ь с m в о. Разделим отрезок [a}b] на п равных частей и положим Xk = a -f k, к = 0,1, ...,п. Для соответствующих интегральных сумм должно иметь место неравенство
b — a
Действительно, оно выводится из следующей цепочки соотношений
m / n \ ^ m / n \ У n \
E E''W =E Ew Е/.ы =
5 = 1 Ui = I
Jc2=I
n n / m
= EE E/.(«*.)/.(**,)) <
A1 = I A2=I
п п
< E Ex
A1=IA2=I \
m
E /'(Xtl)
Л = 1
\
m
п
E ^j = IE,
m
Еяы
л = 1
Заметим, что неравенство в этой цепочке соотношений следует из неравенства Коши. Теорема 3 доказана. Лекция 9
§ 7. КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО
РИМАНУ
Ранее мы доказали и уже неоднократно использовали критерий интегрируемости функции на отрезке, принадлежащий Риману. Этот критерий имеет вид: ограниченная на отрезке функция интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место одно из эквивалентных соотношений:
а) lim ^(T)==O или б) inffi(T) = 0,
Дх-+0 T
где понятие омега-суммы определено ранее (лемма б §3 главы VII), Как видим, этот критерий непосредственно ничего не говорит о том, какие именно функции интегрируемы по Риману, а какие — нет. На данный вопрос и отвечает критерий Лебега.
Для его формулировки определим понятие множества, имеющего нулевую меру Лебега.
Определение. Множество А точек на. числовой прямой имеет лебегову меру нуль, если для всякого числа € > 0 существует конечное или счетное покрытие А интервалами с общей длиной, не превосходящей є. Другими словами, для всякого е > 0 найдутся интервалы Ii,..., In,... с длинами их соответственно Si,...,Sn,...
