Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 74

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 201 >> Следующая


Теоремаї. Пусть производная <p'(t) непрерывна на отрезке [а,/?] и отлична от нуля яа интервале (ex,?), и пусть функция f(x) непрерывна на интервале (<p(a),<p(?)). Тогда имеет место формула

v(?) ?

J f(x) dz = J mt)W(t) dt ?>(«) « как для собственных, так и для несобственных интегралов.

Доказательство. Пусть сначала точки а и ? являются конечными. Тогда особыми точками функций f(x) и f(<p(t}) могут быть концы соответствующих отрезков. Ввиду монотонности функции X = <p(t) каждое значение х принимается лишь один раз, когда переменная t изменяется на интервале (ot,?). Тогда для любых ei > О И €2 > 0 по теореме о замене переменной для собственного интеграла имеем

<p(?-en) ?-t.2

J f(x)dx= I /М<)У(*)А. v(<*+?i) «+«і

Переходя К Пределу В ЭТОМ равенстве при Cl —> 0 и е2 —> 0, получим искомую формулу.

Если же а и ? — бесконечны, то, взяв <*ь ?\ Є M и используя вновь теорему о замене переменной для собственного интеграла, получим

v(?i) ?i

J f(x)dx = J

0fI

Отсюда, переходя к пределу при ot\ -ь -оо и ?i +00, получим искомое равенство. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть:

1) функции f'(x) и д'(х) — непрерывны на промежутке (a, -foo);

2) сходится хотя бы один из несобственных интегралов

+00 +OO

J f(x)g'(x)dx и j f(x)g(x\dx;

a a

3) существует предел Ii = lim f{x)g(x), а в случае если а —

x—f+oo

особая точка, то существует предел I2 = lim /(х)д(х).

I-+S

255- Тогда существуют оба интеграла и имеет место равенство

+оо +OO

J f(x)g'(x) dx = /0г)<7(*)|Г° - J f'(x)g(x) dx. a a

Доказательство. Рассмотрим собственные интегралы на отрезке [а+-€,6]. По теореме об интегрировании по частям в собственном интеграле будем иметь

ь ь

J S(X)91 (х) dx = f(x)g(x)\ba+( - J Ґ(x)g(x) dx.

a+t a+«

Устремив в этом равенстве і к нулю, а 6 к плюс бесконечности, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана.

Иногда полезными оказываются следующие специальные определения несобственного интеграла.



Определение 1. Вещественное число I — lim / f{x) dx назы-

А—ї+оо _А

+ OO

вается главным значением (по Коши) интеграла J f(x) dx и

-CC

обозначается так.

+ oo

I = v.p. I fix) dx.

= V-P- J f(x)

-OO

Определение 2. Если с — особая точка несобственного интеграла второго рода от функции f(x) и с Є (a, 6), то главное значение интеграла определяется так:

с-<5 Ь

I1 = Jim I J f(x) dx + J f(x) dx

c+6 Глава X ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

Лекция 12

§ 1. КРИВЫЕ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Определение 1. Кривой L в пространстве IRm (пространственной кривой в т-мерном пространстве) называется множество точек M С Mm, состоящее нз всех значений (хр\ (<),..., <рт (?)) некоторой вектор-функции Xi = (pi (І), .... xm = ^m(o) НрИЧЄМ фуНКЦИИ tpi(t),..., <pm(t) заданы на некотором промежутке I С M и непрерывны в каждой точке его.

Под промежутком мы понимаем либо конечные отрезки, интервалы и полуинтервалы, либо бесконечные интервалы и полуинтервалы.

Для простоты в дальнейшем будем рассматривать случай / — [а,&]. Напомним, что в концах отрезка непрерывность понимается как односторонняя непрерывность.

Определение 2. Точка с = (сь...,ет) Є L называется кратной точкой кривой L, если имеются по крайней мере две различные ТОЧКИ І] Ф І2 промежутка I та кие, ЧТО <pi(ti) — V5I (Ы = Cl, . . . , <pm(t 1) — = iPmih) — Cm-

Точки кривой, не являющиеся кратными, называются простыми точками кривой.

Кривая L, имеющая только конечное число кратных точек, называется параметризуемой кривой.

Кривая L, не имеющая кратных точек, за исключением, быть может, концевых точек промежутка I, называется простой кривой.

Если только в концевых точках 11 и I2 отрезка I значения функций <pi(t),.. .,(pm(t) совпадают, то простая кривая называется простой замкнутой кривой.

Лемма. Всякую параметризуемую кривую можно представить в виде объединения конечного числа простых кривых.

Доказательство. Достаточно отрезок / разбить на конечное число отрезков с концами в кратных точках исходной кривой.

Определение 3. Функция f(t), непрерывная на отрезке [а, Ь], называется кусочно-линейной [а, 6], если для любого значения t Є [а, 6], за исключением конечного их числа: ... ,tn-i, имеем: f'(t) равна постоянному значению на каждом отрезке [f*, U+i], k = 0,... ,п. Это

Ч Лекции по математическому анализу

257 означает также, что на любом отрезке имеет вид /(<) = akt+bk

(здесь t0 = a,tn = b).

Определение 4. Простая кривая L называется ломаной линией,

если <pi (<),..., <рт (<) являются кусочно-линейными функциями.

Очевидно, что каждая ломаная состоит из отдельных отрезков, которые называются ее звеньями, а концы этих отрезков — точки AiAn, называются ее узлами. Точки to,...,tn, которым соответствуют эти узлы, образуют разбиение отрезка [о, 6].

Рассмотрим одно звено лбманой с начальной точкой Ai(xi,..., xm) и конечной точкой A2(JZi) ¦ • мУт)- По теореме Пифагора его длина \1\ равна величине

Kl = у/(Vl - Xl)2 + • • • + (ym ~ Xm)2.

Если же точки Ло(хі,о, • •, ®m,o), - • • т A„(a?if„,..., ят,п) являются последовательными узлами ломаной I, то длина этой ломаной обозначается символом К| и, очевидно, она равна
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed