Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
N
оо
Xj
1
иметь
оо оо оо
NN N
где Piх) = і - {х}, <г(х) =fp(t) dt.
о
Интегрируя последний интеграл по частям, получим
, ,г 1 Л 7 Ф) ,
.^ІпЛГ + 7+ —-JLyi + 2j -lldx.
N
223-
dcr(x)
X2И наконец, положим сг0{х) = <т(х) - (T1 (х) — J(Tq(I) dt. Очевидно,
о
N
имеем ArI (N) = f <T0(t) dt =: 0. Интегрируем в последней формуле для о
8N интеграл по частям, находим
, ' .г 1 1 7ax л Id(TiU)
N N
Отсюда имеем требуемую формулу для s^.
Докажем теперь формулу суммирования Абеля.
T е о р е м а 4. Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [а, 6] и пусть А(х) = ? am- Тогда при
«¦ч
любом х<Є [а, 6] имеем
*
? «*/(«) - лм/м = - J A(t)f(t) dt
a<n<x д
Доказател ь с т е о. Обозначим через G(x) левую часть последнего равенства. Аналогично доказательству. теоремы 2 функция G(x) имеет непрерывную производную в нецелых точках, а при целых значениях она является непрерывной функцией. Заметим также, что при нецелых значениях х имеет место равенство А'(х) = 0. Следовательно, продифференцировав G(x) при нецелых х, получим <7'(х) = —A(x)f'(x). Но и производная правой части рассматриваемого равенства равна той же функции. Тогда из формулы Ньютона -Лейбница имеем искомое равенство. Теорема 4 доказана.Лекция З
§ 3. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Важную роль при вычислении интегралов играют формулы замены переменной и интегрирования по частям. Они являются следствием формулы Ньютона - Лейбница. Имеет место следующее утверждение.
Теорема1(о замене переменной). Пусть функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [жо,жі]. Пусть также точки а, 6 Є [хо, х\] а < by <р{ос) = а, <p(?) = b и множество. значений функции <p(t) при a < t < ? является подмножеством отрезка [х0,хі]. Пусть, кроме того, производная <p'(t) непрерывна на отрезке [а, ?]. Тогда справедлива ,формула
?
J f(x) dx = j f (cp{t))9'(t) dt.
a
Доказательство. Так как функция /(ж) непрерывна
на отрезке [а, Ь], то по теореме Ньютона - Лейбница существует ее
.6
первообразная F(x) и Ft(х) = /(х), / /(х) dx = F(b) - F (а).
a
При всех t Є [л, ?] по условию теоремы определена функция G(t) — F(<p(t)), которая на этом отрезке имеет производную, причем
Gf (t) = FftMt)) = FfipMt)). <p'(t) = f(<p(t))<p'(t).
А это значит, что функция G(t) является первообразной функции f(<p(t)) ¦ <p'(t). Следовательно, имеет место равенство
? ь
I f(<fi(tW(t) dt = FM/?)) - FMa)) = F(b) - F(a) = J f(x) dx.
Ot
Теорема 1 доказана.
Теорема2 (Формула интегрирования по частям). Пусть на отрезке [a, Ь] заданы гладкие функции /(ж) и д(х). Тогда имеем
ь ъ
J f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)\ba - J f(x)g(x) dx,
s Лекции по математическому анализу
225где символ Л(х)[д означает разность h(b) — h(a).
Доказательство. Пусть Л(х) = f(x)g(x). Тогда имеем
h'{x) = f{x)g{x) + f(x)g'{x).
Следовательно,
ь ь ь
J h'{x) dx = J f'(x)g{x) dx + J f(x)g'{x) dx.
a a a
По теореме Ньютона - Лейбница получим
ь
J h'(x) dx = h(b) - h(a) = /(x)i7(x)It •
Подставляя последнюю формулу в предыдущую, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана.
§ 4. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ИНТЕГРАЛА
T е о р е м а 1 (первая теорема о среднем значениии). Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Пусть также яа этом отрезке функция д(х) неотрицательна, а для функции f(x) при некоторых вещественных числах m и M имеют место неравенства m < /(х) < М. Тогда найдется вещественное число р с условием m < р < M такое, что
о о
J f{x)g(x) dx = р J g(x) dx.
Доказательство. Поскольку справедливы неравенства
mg(x) < f{x)g{x) < Мд(х),
интегрируя их, получим
ь
т
а
J д{х) dx < J f(x)g(x) dx < M J д(х) dx. (1)
226-ь
Заметим, что J д(х) dx > 0, так как ^(х) > 0.
а
Ь
Тогда если Jд(х) dx = 0, то из неравенства (1) имеем
а
О о
j f(x)g(x) dx = 0 = J g(x)dx
и число fi можно положить равным т.
ь
Если J д(х) dx > 0, то получим
а
Jf (х)д(х) dx т < —L--< М.
¦*¦ о
}д(х) dx
а
Положим отношение интегралов равным fi. Тогда будем иметь
ь ь
J f(x)g(x) dx-fi J д(х) dx,
где m < /і < М. Теорема 1 доказана.
Следствие!.. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы яа отрезке [а, 6]. Пусть также на этом отрезке функции д(х) неположительна, а для функция /(х) при некоторых вещественных m и M имеют место неравенства m < f(x) < Af. Тогда найдется вещественное число р с условием m < ц < M такое, что
ь ь
J f(x)g(z) dx = P j g(x) dx.
Доказательство. Положим <7i(z) = — iKx)- Тогда Функции f(x) и *gi(x) удовлетворяют условиям теоремы 1 и мы имеем равенство
ь ь
J f(x)gi(x) dx = fi J л (ar) dxt
где m < /і < M.
Подставляя в это равенство gi(x) = ~g(x), получим утверждение следствия.
R*
227-Следствие 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и функция д(х) интегрируема на этом отрезке, причем для всех точек X Є [а, 6] функция д(х) неотрицательна. Тогда существует точка с Є [а, fr] такая, что