Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 66

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 201 >> Следующая


N

оо

Xj

1

иметь

оо оо оо

NN N

где Piх) = і - {х}, <г(х) =fp(t) dt.

о

Интегрируя последний интеграл по частям, получим

, ,г 1 Л 7 Ф) ,

.^ІпЛГ + 7+ —-JLyi + 2j -lldx.

N

223-

dcr(x)

X2 И наконец, положим сг0{х) = <т(х) - (T1 (х) — J(Tq(I) dt. Очевидно,

о

N

имеем ArI (N) = f <T0(t) dt =: 0. Интегрируем в последней формуле для о

8N интеграл по частям, находим

, ' .г 1 1 7ax л Id(TiU)

N N

Отсюда имеем требуемую формулу для s^.

Докажем теперь формулу суммирования Абеля.

T е о р е м а 4. Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [а, 6] и пусть А(х) = ? am- Тогда при

«¦ч

любом х<Є [а, 6] имеем

*

? «*/(«) - лм/м = - J A(t)f(t) dt

a<n<x д

Доказател ь с т е о. Обозначим через G(x) левую часть последнего равенства. Аналогично доказательству. теоремы 2 функция G(x) имеет непрерывную производную в нецелых точках, а при целых значениях она является непрерывной функцией. Заметим также, что при нецелых значениях х имеет место равенство А'(х) = 0. Следовательно, продифференцировав G(x) при нецелых х, получим <7'(х) = —A(x)f'(x). Но и производная правой части рассматриваемого равенства равна той же функции. Тогда из формулы Ньютона -Лейбница имеем искомое равенство. Теорема 4 доказана. Лекция З

§ 3. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Важную роль при вычислении интегралов играют формулы замены переменной и интегрирования по частям. Они являются следствием формулы Ньютона - Лейбница. Имеет место следующее утверждение.

Теорема1(о замене переменной). Пусть функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [жо,жі]. Пусть также точки а, 6 Є [хо, х\] а < by <р{ос) = а, <p(?) = b и множество. значений функции <p(t) при a < t < ? является подмножеством отрезка [х0,хі]. Пусть, кроме того, производная <p'(t) непрерывна на отрезке [а, ?]. Тогда справедлива ,формула

?

J f(x) dx = j f (cp{t))9'(t) dt.

a

Доказательство. Так как функция /(ж) непрерывна

на отрезке [а, Ь], то по теореме Ньютона - Лейбница существует ее

.6

первообразная F(x) и Ft(х) = /(х), / /(х) dx = F(b) - F (а).

a

При всех t Є [л, ?] по условию теоремы определена функция G(t) — F(<p(t)), которая на этом отрезке имеет производную, причем

Gf (t) = FftMt)) = FfipMt)). <p'(t) = f(<p(t))<p'(t).

А это значит, что функция G(t) является первообразной функции f(<p(t)) ¦ <p'(t). Следовательно, имеет место равенство

? ь

I f(<fi(tW(t) dt = FM/?)) - FMa)) = F(b) - F(a) = J f(x) dx.

Ot

Теорема 1 доказана.

Теорема2 (Формула интегрирования по частям). Пусть на отрезке [a, Ь] заданы гладкие функции /(ж) и д(х). Тогда имеем

ь ъ

J f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)\ba - J f(x)g(x) dx,

s Лекции по математическому анализу

225 где символ Л(х)[д означает разность h(b) — h(a).

Доказательство. Пусть Л(х) = f(x)g(x). Тогда имеем

h'{x) = f{x)g{x) + f(x)g'{x).

Следовательно,

ь ь ь

J h'{x) dx = J f'(x)g{x) dx + J f(x)g'{x) dx.

a a a

По теореме Ньютона - Лейбница получим

ь

J h'(x) dx = h(b) - h(a) = /(x)i7(x)It •

Подставляя последнюю формулу в предыдущую, получим искомую формулу. Теорема 2 доказана.

§ 4. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ

ИНТЕГРАЛА

T е о р е м а 1 (первая теорема о среднем значениии). Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Пусть также яа этом отрезке функция д(х) неотрицательна, а для функции f(x) при некоторых вещественных числах m и M имеют место неравенства m < /(х) < М. Тогда найдется вещественное число р с условием m < р < M такое, что

о о

J f{x)g(x) dx = р J g(x) dx.

Доказательство. Поскольку справедливы неравенства

mg(x) < f{x)g{x) < Мд(х),

интегрируя их, получим

ь

т

а

J д{х) dx < J f(x)g(x) dx < M J д(х) dx. (1)

226- ь

Заметим, что J д(х) dx > 0, так как ^(х) > 0.

а

Ь

Тогда если Jд(х) dx = 0, то из неравенства (1) имеем

а

О о

j f(x)g(x) dx = 0 = J g(x)dx

и число fi можно положить равным т.

ь

Если J д(х) dx > 0, то получим

а

Jf (х)д(х) dx т < —L--< М.

¦*¦ о

}д(х) dx

а

Положим отношение интегралов равным fi. Тогда будем иметь

ь ь

J f(x)g(x) dx-fi J д(х) dx,

где m < /і < М. Теорема 1 доказана.

Следствие!.. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы яа отрезке [а, 6]. Пусть также на этом отрезке функции д(х) неположительна, а для функция /(х) при некоторых вещественных m и M имеют место неравенства m < f(x) < Af. Тогда найдется вещественное число р с условием m < ц < M такое, что

ь ь

J f(x)g(z) dx = P j g(x) dx.

Доказательство. Положим <7i(z) = — iKx)- Тогда Функции f(x) и *gi(x) удовлетворяют условиям теоремы 1 и мы имеем равенство

ь ь

J f(x)gi(x) dx = fi J л (ar) dxt

где m < /і < M.

Подставляя в это равенство gi(x) = ~g(x), получим утверждение следствия.

R*

227- Следствие 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и функция д(х) интегрируема на этом отрезке, причем для всех точек X Є [а, 6] функция д(х) неотрицательна. Тогда существует точка с Є [а, fr] такая, что
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed