Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Но так как е > 0 — произвольно, то, следовательно, Ji+(P) = /**(Р), т.е. фигура P — измерима по Жордану. Теорема доказана полностью. Лекция 11
§ 3. СВОЙСТВА МЕРЫ ЖОРДАНА
Проверим, что неотрицательная функция /і(Р), определенная нами для измеримых фигур на плоскости, обладает - свойствами монотонности, инвариантности относительно движений, плоскости и аддитивности, имеющих место для простейших фигур.
Во-первых, покажем, что множество измеримых фигур замкнуто относительно теоретико-множественных операций: объединения, пересечения и разности множеств. Другими словами, если фигуры Pi и P2 — измеримы, то измеримыми по Жордану являются фигуры
PiUP2, PiHP2l Pi \ P2.
Докажем сначала измеримость объединения двух множеств. В силу критерия измеримости множества по Жордану достаточно показать, что fJ.(d(Pi U P2)) = 0. Докажем, что
B(PiUP2) CdPiiJdP2.
Возьмем любое x Є д(Рі U Рг)- Предположим, что х ? дРі, х ? дР2. Тогда точка х является либо внутренней точкой Pi, либо внутренней точкой P2, либо внешней точкой и Pi, и P2. Отсюда следует, что точка x по отношению ко множеству P1UP2 является либо внутренней, либо внешней точкой. Но это противоречит тому факту, что точка x принадлежит границе множества Pi U Рг. Следовательно, граница объединения двух множеств является подмножеством объединения границ этих множеств.
Поместим измеримые множества Pi и P2 в стандартный квадрат К. Тогда множества К \ Pj и К\Р2 являются измеримыми по Жордану, так как их граница содержится в объединении границ множеств К, Pi и P2. Отсюда следует измеримость множеств
Pi \ Pi, Pi П P2 = К \ (К \ Pi) U (К \ P2).
Перейдем теперь к свойству монотонности функции /і(Р). Если Pi С P2, то всякая простейшая фигура, описанная вокруг P2, содержит и Pi, а потому р*(Pi) < р*(P2). Но так как фигуры Pi и P2 измеримы, то
fi(Pi) = ^(Pi)< р?(Р2) =P(P2).
Это и означает, что функция р(Р) является монотонной.
Инвариантность меры Жордана относительно параллельных переносов следует из того, что при параллельном переносе площадь
267 простейшей фигуры не меняется, поэтому при сдвигах плоскости не меняется значение величин р*(Р) и р*(Р).
Далее, как известно, по теореме Шаля все движения плоскости сводятся либо к сдвигам, либо к поворотам плоскости относительно некоторой неподвижной точки. Так что для завершения доказательства инвариантности меры Жордана относительно движений плоскости нам достаточно показать, что она инвариантна относительно поворотов плоскости вокруг некоторой неподвижной точки. Заметим, что при повороте плоскости площадь простейшей фигуры не меняется, но, к сожалению, она уже перестает быть простейшей.
Итак, пусть задана измеримая по Жордану фигура Р. Тогда существуют простейшие фигуры Pi, P2 такие, что Pi С P С Рг, причем
P(Pl) < P(P) < P(pI) + Р(Р2) - Є < P(P) < Р(Рї),
и Pi, P2 представляются в виде объединения конечного числа стандартных прямоугольников. При повороте плоскости вокруг неподвижной точки фигуры Р, Pi и Рг перейдут соответственно в измеримые фигуры QtQі и Qit причем Qi С Q С Q2- Очевидно, достаточно показать, что если стандартный прямоугольник при повороте „переходит в прямоугольник П, то его можно заключить в открытую простейшую фигуру Пі и вписать в него замкнутую простейшую фигуру П2, такие, что П2 С П С Пі и разность /і(Пі) — /і(П2) может быть сделана сколь угодно малой. Для этого обрамляем прямоугольник П прямоугольником По со сторонами, параллельными сторонам П и находящихся от них на достаточно малом расстоянии. Затем вписываем в По простейшую фигуру, которая содержит П. Она и будет искомой.
Докажем теперь свойство аддитивности меры Жордана. Заметим сначала, что для простейших фигур справедливо неравенство
р(АиВ) <р(А)+р(В).
Далее, пусть фигуры Pi и P2 измеримы по Жордану и пусть P = Pi UP2lPi П P2 = 0. Тогда по критерию измеримости множества фигура P измерима, поскольку граница объединения двух множеств содержится в ,объединении границ самих множеств. Докажем, что имеет место равенство
р(Р) = P(Pi)+р(Р2).
В силу измеримости фигур Pi и P2 для всякого є > 0 найдутся простейшие фигуры Qi и Q2t Ri и R2 такие, что
P(Qi) < p(Pi) < /i(Qi) + ?, P(Q2) - е <p(Pi) < P(Q2)t
268- H(Ri) < ?(P2) < H(Ri) + є\ H(R2) - є < M(P2) < Мікроме того, для простейших фигур Qi и Ai с условием Qi П Ri = 0 имеезд ^(Qi UjRi) =//(Qi)+ /і(Яі), а также /i(Q2 U Я2) < ^i(Q2)+ M^2)• Поэтому, учитывая теоретико-множественные включения
Qi U Ri С Pi U P2 = P С Q2 U R2t
получим
H(Qi) + нШ = ?(Qi и Ri) < р(Р) < AQ2 U R2) < < V(Qi) + /<№) < KQi) + H(RI) + 2^
Очевидно также имеем
Из последних неравенств найдем
HP) -Al(Pl) -.IX(P2)I В силу же произвольности выбора є > 0 будем иметь
¦0(Р) = Ai(P1)+ Ai(P2).
Это и доказывает свойство аддитивности меры Жордана.
§ 4. ИЗМЕРИМОСТЬ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ
Цель этого параграфа показать, что если L — спрямляемая кривая, то ее плоская мера Жордана равна нулю. А значит, в силу критерия измеримости фигуры по Жордану будет измеримой фигура, ограниченная спрямляемой кривой.
