Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
В заключение рассмотрим несколько примеров на применение доказанных выше теорем.
Примеры. 1. Функции у = aresin х, у = arccosx, у = arctgx — непрерывные на всей области их определения. Это утверждение является прямым следствием доказанных выше теорем.
88 2. Существует единственная функция ж = х(у) (—оо <,у < -foo), удовлетворяющая уравнению Кеплера
x — esiri Х = у (0<?<1).
Действительно: 1) функция у(х) монотонно возрастает, так как при X1 > Х2
( . ч л ¦ Х\-Х2 ^1H-X2 Уі ——€(sm Xi-Sin X2J=Xi-X2-2є Sin-г— COS
. Xi-X2 Xi+X2
2є sin —-— cos —-—
<2є
Xi-Х2
2 "" 2 =є(хі-х2),
yi-!/2>(l-?)(sPi-®2)>0; 2) у(х) = X — є sin X — функция* непрерывная.
По теореме 3 отсюда следует, что на любом отрезке а < у < Ь существует единственная непрерывная функция ж (у), удовлетворяющая уравнению Кеплера. Лек идея 14
§ 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА
ОТРЕЗКЕ
Теоремаї (об обращении функции в нуль). Пусть функция /(ж) определена, и непрерывна на [а, Ь] и на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, 'т.е. f(a)f(b) < 0. Тогда существует с Є (а, 6) такое, что
/(с)-=0.
Доказательство проведем методом Больцано. Отрезок J0 = [а,Ь] разделим пополам точкой Xi = Если f(x\) = 0, то все доказано. Если нет, то f[x\) имеет знак, отличный либо от /(а), либо от /(&). Обозначим через Ji тот из двух отрезков [a, Xi] или [хі,6], на концах которого f(x) принимает значения разных знаков. Теперь разделим Ji пополам точкой X2 и выберем отрезок J2 так, чтобы на концах его /(ж) имела значения разных знаков. Поступая так и далее, получим последовательность вложенных отрезков Jq D Ji D J2 D ... Это последовательность стягивающихся отрезков, так как длина Jn — = —0 при n оо. Пусть Xq — общая точка всех отрезков. Тогда если Jn = [ап,6п], то ап —ь Xq и 6П —У Xq при п —> оо, и отсюда
/(<2п) -»• /(®о) И f{bn) /(х0) при П-? оо.
Так как f(an)f(bnJ< 0, то Iim /(а„)/(&„} = /2(ж0) < 0. Следова-
П —> OO
тельно, /(жо) = 0, что и требовалось доказать.
Теорема2(о промежуточном значении непрерывной функции). Пусть f(x) непрерывна на [а, 6], /(а) = а, /(&) = /? и пусть с — любое число, удовлетворяющее условию
a < с < ?, если a < ?, ? < с < а, если ? < a.
Тогда существует точка Xq € [а, Ь] такая, что /(жо) = с.
Доказательство. Рассмотрим функцию g{x) = f(x) — с. Если д (а) или g(b) = 0, то тогда Xq = а или хо = Ь. Если же 0(а)#(&) ф 0, то д(а) и д(Ь), имеют значения разных знаков. По теореме 1 существует точка Xq € [а, 6] такая, что д(хо) = 0, откуда /(хо) = с, что и требовалось доказать.
90 ТеоремаЗ (об ограниченности непрерывной функции). Функция, непрерывная на [а, Ь], ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Проведем доказательство методом Болъцано. Предположим противное, т. е. пусть /(х) не ограничена. Тогда разделим отрезок J0 = [а, 6] пополам. В качестве Ji выберем ту половину, где f(x) не ограничена. Снова делим пополам Ji и выбираем в качестве J2 ту половину, на которой f(x) не ограничена. Имеем Jo Э Ji Э J2 Э ¦ ¦ • Э Jn D — Получена последовательность стягивающихся отрезков. Пусть Xq — их общая точка. В ней f(x) непрерывна. Возьмем ?(1) — окрестность ТОЧКИ X0, в которой \f(x) -/(X0)I < 1. Тогда
|/(х)| =Ц/(х) - /(X0)) +¦ /(х0)| < !/(х) - /(х0)| + |/(х0)| < 1 + |Z(x0)|
и f(x) ограничена в ?(1)-окрестности точки X0. Поскольку <?(1) > О, то в ней целиком содержится всякий отрезок Jn, если только его длина Sn = <S0/2n <<5(1). Но тогда /(х) будет ограничена и на Jn, что противоречит построению {Jn}- Теорема доказана.
Теорема4(о достижении непрерывной функцией точной верхней и нижней граней). Функция, непрерывная на отрезке, достигает своей точной верхней грани и точной нижней граяи, т. е.
3 Xi Є [а, 6] такое, что sup f(x) = f(x 1),
*Є{а,Ь]
З Х2 6 [а, 6] такое, что inf /(х) = f(x2).
атЄ[а,Ь]
Докажем теорему только для sup/(x), так как для случая inf/(х) можно рассмотреть функцию /і(х) = —/(х).
Доказательство. От противного. Пусть А = sup f(x),
А ф f(x) при всех X Є [а,Ь], Тогда А > f(x) для любого х. Но тогда А — /(х) — непрерывная функция и A — f(x) > 0 при всех х Є [а, Ь].
Следовательно, g(x) = тоже непрерывна. Поэтому д(х)
ограничена по теореме 3 и, значит, найдется В > 0 такое, что
1
Л - /(х) < В'
Отсюда
т.е. число А — ^ есть верхняя грань, которая меньше, чем А, но это противоречит тому, что А — наименьшая верхняя грань. Теорема Доказана.
91 Так как для непрерывной функции /(х) на отрезке точная верхняя грань и точная нижняя грань достижимы, то А = sup/(x) называют максимальным значением /(х), а В — inf /(х) — минимальным значением /(х) й пишут
A= шах /(х), B= min /(х).
Пример. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а, 6] и пусть а = х\ < Х2 < ¦ • • < хп = Ь. Тогда существует точка ? Є [а, ?>] такая, что выполняется равенство
т = + Г»)
п
Действительно, пусть
m = min (/(xi),/(х2),...,/(хп)), Af = max(/(xi),/(х2),...,/(хп)). Тогда, очевидно, справедливо неравенство
та</(«,)+/(«,) + •••+/(-)=yt<Jtf.
