Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1. у Z=. {я} имеет разрывы первого рода в целых точках.
2. y = sinl/x в точке ^o = O имеет разрыв второго рода. (Рассмотреть ДВЄ Последовательности Xn = yn = ^y2+?гп •)
Определение 5. Разрыв первого рода в точке Xq называется устранимым, если существует Iim f(x) = I, но I ф f(xо).
Этот разрыв устраняется, если по-новому определить (или, возможно, доопределить) /(х) в точке х = х0, положив /(Xo) = Iimr-^0Z(X). Если f(x) —> I при X —> х0, но f(x) не определена при х = хо-, то говорят также, что имеет место устранимый разрыв. В противном случае разрыв первого рода называется неустранимым.
82 Тео.ремаї (о точках разрыва монотонной функции на отрезке). Пусть функция /(х) — монотонная на отрезке [а,6]. Тогда она может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода. Более того, при всех Xq Є [а, 6] имеем
Iim f{x) = inf f{x) = Ii, lim f{x) = sup f{x) = I2,
X-VX0+ X>xa Т-ЇХо— r<Xo
h<f{xo)<h,
если f(x) не убывает. Если же функция /(х) не возрастает, то Iim f(x) — sup f(x) = Ii, lim f(x) = inf f(x) = I2,
І-+ІО+ X>JTQ X —Ho — Г<Г0
*1</Ы</2-
Доказательство. Рассмотрим только один случай, когда функция /(х) не убывает (/ |) на [а, 6]. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Докажем теорему в этом случае:
lim /(х) = inf f(x) = 11.
X—fx 0+ x>x0
Совершенно аналогично доказывается, что
lim f{x) = sup f(x) = I2.
X-fXo- x<r0
Так как l\ — точная нижняя грань множества значений f(x) при X > Xq, то:
1) f(x) >h V *>¦*„;
2) V є > 0 3 Xi > хо такое, что f(x 1) < /1 + ?.
В силу того, что f(x) неубывающая функция, имеем
Vx: Xo < X < Xi => Ii < /(х) < i] + є,
следовательно, l\ — Iimr-^0+ /(х). Имеем еще, что число /(хо) есть нижняя грань для {/(х)} при х > xq, откуда /(хо) < 1\.
Аналогично /(хо) > I2, откуда I2 < /(Xq) < Z1, что и требовалось доказать.
\ і Теорема2 (критерий непрерывности монотонной функции). Пусть /(х) определена и монотонна на отрезке [а, 6]. Тогда для непі>ерьівности ее на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого 1 Є [/(а), f{b)) нашлась точка Xq Є [а, 6] такая, что /(X0)=L
JJ о к а з a m е л ь с m в о. Рассмотрим только случай неубывающей Функции /(х) на отрезке [а, 6].
83 Необходимость. Возьмем любое число / Є [/(я),/(&)]• Рассмотрим множество X = {ж} С [а, 6], для которых f(x) > I, и пусть Xq = infX. Тогда, поскольку f(x) неубывающая функция, имеем
Iim f{x) = inf f{x)=I1>1.
1-+Г0+ I>I0
При X < хо (если X0 ф a) f{x) < I. Отсюда
lim f{x)=l2<i,
T —> X (, —
т.е. I2 < I < It-
Если f[x) непрерывна на [я, 6], то f(x) непрерывна в точке жо, т.е. I2 = l\ = f(zo). Следовательно,
I = I2=I1= f (X0),
Если же ж0 = я, то
f(a)<l<lu
но из непрерывности функции /(х) в точке а- слева следует, что /(я) = а значит, I = f(a) = I
Достаточность. Будем рассуждать от противного. Пусть /(ж) имеет разрыв в точке жо и /(ж) не убывает на [а,6]. Тогда для значений І і — lim /(ж), I2 = lim /(ж) выполняются неравенства
X —^r0+ JF-H0-
I2 < 1\ и . I2 < /(X0) < /1-
Возьмем І Є {l2l.l\) и I ф f(x0). Имеем:
і > /(ж) при ж < жь, / < /(ж) при ж > Жо, I ф /(ж) при X = Жо,
т.е. функция не принимает значение I на [я, 6]. Таким образом мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.
ТеоремаЗ (об обратной функции). Пусть функция у — /(ж) строго возрастает и непрерывна на отрезке [я, 6]. Тогда существует функция ж = *д(у), строго возрастающая, определенная на отрезке Ifia и непрерывная на нем, такая, что g{f{ж)) = ж, т.е. g = f
Доказательство. 1. Отображение [а, 6] —> [/(а), /(6)]
инъективно, где [а, fr] = I\, [/(я),/(6)] = I2, т.е. является вложением. Другими словами, для любых точек х.\ ф X2 имеем неравенство /(*!)#/(* 2).
84 2. Отображение / сюръективно, т.е. является накрытием. Это имеет место по теореме 2, утверждающей, что для любого числа І Є [/(<»),/(&)] найдется точка Xo Є [а, 6] такая, что /(хо) — L
Следовательно, / есть биекция, т.е. / устанавливает взаимно однозначное соответствие между Ii и /2.
Тогда существует обратное отображение д, т.е. обратная функция ж = д[у).
1. Эта функция монотонно возрастает, так как если уі > у2, то g(yi) = I1 и д(у2) = X2, причем /(хі) = У1 и /(X2) = у2. Отсюда Xi > х2, поскольку /(х) монотонно возрастает.
2. Эта функция д(у) принимает все значения из [а, 6], так как для каждого X' существует у такое, что д(у) = х, и этим у является число
Отсюда в силу теоремы 2 имеем, что функция д(у) непрерывна на отрезке І2-
Теорема полностью доказана.
Используя доказанные выше теоремы о монотонных функциях, снова обратимся к изучению элементарных функций. Прежде всего, заметим, что при натуральном m функция /(х) = Xrn= является
m
непрерывной и строго возрастающей при х > 0.
Действительно, если а > Ь > 0, то
ат > ^m-I6 > ат~2Ъ2 у > ^m-1 > ^m
Непрерывность же функции /(х) = Xm следует из того, что она является произведением m непрерывных функций вида у = х.
По теореме 3 при всех X > 0 для нее существует обратная функция д{х), которая тоже непрерывна и строго возрастает. Для нее, как известно из курса элементарной математики, используется обозначение д(х) = vZfx и она называется операцией извлечения корня гп-й степени. Зафиксируем теперь число х > 0 и натуральное т и рассмотрим числа У S= = V^x". Тогда ут = х, утп =Xny Zm = хп, откуда имеем
