Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. 1. Пусть существует lim f{x) по
X -+Xo
Коши. Докажем, что существует соответствующий предел по Гейне. Действительно, из условия имеем, что
V є > 0 3 S = > 0, такое, что Vx: 0 < — хо| < ?
выполняется неравенство |/(х) — 1\ < є.
Пусть {хп} — произвольная последовательность, стремящаяся к хо при п —>• оо и хп ф хо при всех п Є N. Тогда для любого S > О существует Nі = Ni(S) такое, что при всех n > Ar1
О < |хп - х0| < S.
Так как S можно взять любым, то и для S = <У(є) справедливо то же утверждение.
Нам надо доказать, что для любого є > 0 найдется номер N(є) такой, что
V n > N(є) имеем |/(хп) - /| < е. Положим N(е) = Ni(S(e)). Тогда, ввиду того, что
О < |xn ™ хо| <
имеем |/(xn) — ZI < є. Тем самым прямое утверждение доказано.
2. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любой последовательности {xn} С условиями Xn —У Xo и Xn Ф Xo имеем f(xn) при п —> оо.
Далее будем рассуждать от противного. Пусть I не является пределом функции /(х) по Коши. Это значит, что найдется є > О, такое, что
V S > О З X : 0 < |х - х0| < S, Для которого выполняется неравенство |/(х)
3*
67 Рассмотрим последовательность = 1 /п. Тогда для любого п найдется число хп такое, что: 1) хп ф хо, 2) \хп — хо| < 1/п, но 3) |/(х„) — > ?. Заметим, что числа {хп} образуют последовательность, сходящуюся к- х0. Следовательно, в силу сходимости по Гейне при п -4 оо существует предел Iim f(xn) = Но то-
п—юо
гда, переходя к пределу в неравенстве |/(х„) — > будем иметь 0=г )/ — /(> є. Полученное противоречие устанавливает справедливость второго утверждения теоремы. Доказательство закончено.
§ 6. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Напомним, что сложной функцией h(x) называют функцию вида
h(x) = f(g(z))}
где /(у) и у(ж) — некоторые функции такие, что область определения /(у) содержит все множество значений, принимаемых функцией д(х). Функцию h(x) еще называют композицией (или суперпозицией) функций / и д. Символически это записывается так: h = fog. Следовало бы ожидать, что справедлива следующая теорема: Пусть Iim д(х) — уо, Iim /(у) = L Тогда имеем
I-Ho У-+У о
Iim f(g(x)) = L
x-t-xa
Такое утверждение справедливо, например, для непрерывных функций. Однако в общем случае эта теорема неверна.
Пример.
<•>-{!:
если X ф О, /(*) = I1 n 9{х) = О-
если X = О,
Тогда
Iim о(х) = 0, Iim f(x) = 0, f(g{x)) = IVxGM, lim/($(*)) = 1.
х—ю г—»-0 г—+О
Тем не менее, справедливы следующие утверждения. ТеоремаХ. Пусть Iim g(x) = у0, Iim /(у) = /(у0). Тогдг
Х-+Х0 У*-+Уо
имеем "
lim f(g(x)) = /(уо).
X—»-Хо ¦
68 Доказательство. Нам надо доказать, что для любого є > 0 существует S = > 0 такое, что при всех х с условием 0 < Iж - хо| < S имеем If{g{x)) - /(уо)| < е. Далее, для любого заданного є > 0 существует rfi = ?1 (є) > 0 такое, что при всех У'- ІУ—ї/ol < имеем |/(у) -/(уо)| < ?- Для этого Jj существует S = S(Si) > 0 такое, что при всех х с условием 0< |х — жо| < S имеем
|<К*) - Уа\ <
Полученное S нам и требовалось найти.
Теперь при всех X С условием 0 < |х — Xol < <S имеем |</(х) — Уо| < ¦ Следовательно, \f(g(x)) — f(yo) \ < є. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть Iim х„ = a, Iirn /(у) = f(a). Тогда имеем
м-+оо у-+а
Iim /(х„) = /(а).
п—юо
Доказательство. Надо доказать, что для любого є > О существует по = «о (є) такое, что при всех п > по выполняется неравенство |/(хп) — /(а)| < є. По условию имеем:
1) для любого є > О существует = (є) > О такое, что при всех у с условием )j/ — а\ < Ji выполняется неравенство |/(у) — /(а)| < Є]
2) существует no = Wo(^i) такое, что при всех п > по выполняется неравенство |х„ — а| < Ji-
Положим по = ^o OM^))- Тогда при всех п> по имеем
k„ - aj < Si и j/(xn) - /(ct)| < ?.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть Iim д(х) = уо, причем для всех х из
ГЧІО
некоторой проколотой окрестности ТОЧКИ Xo имеем д(х) ф Уо, и пусть
Um /(у)=/.
У-+УО
Тогда
lim f(g(x))=I.
Г-ЦГ0
Доказательство. Нам надо доказать, что для любого ? > 0 существует S = S(є) > О такое, что при всех х с условием О < |х — хо| < S выполняется неравенство
I Дд(х))-Ц<е.
69 По условию имеем, что для любого є > 0 существует = (є) > О такое, что при всех у с условием 0 < \у — уо| < ^x выполняется неравенство
\f{y)-l\<e.
Для заданного > 0 имеем также, что существует <Ь = > О такое, что при всех х с условием 0 < \х — X01 < <Ь выполняется неравенство jc/(x) — Уо| < ^l- И, кроме того, по условию существует <*3 >0 такое, что при всех х с условием 0 < jx. — Хо| < <5з справедливо неравенство д(х) ф уо. Тогда возьмем
S = Imn(J3lJ2OMe)))-
Получим, что при этой величине S выполняется требуемое неравенство. Теорема 3 доказана.
Пусть теперь /(х) имеет предел по базе В. В каком случае сложная функция h(t) = f(g{t)) по некоторой другой базе D имеет тот же предел? Другими словами, когда в функции, стоящей под знаком предела, разрешается делать замену переменной х на новую переменную t с соответствующей заменой базы В на новую базу D так, чтобы значение предела сохранялось? Здесь имеет место следующая теорема.
