Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4. Пусть Iim /(х) = I. Тогда для того чтобы
в
существовал
Hm/(*(<))=*,
достаточно, чтобы при отображении х = g(t) каждое окончание Ь базы В содержало (целиком !) образ некоторого окончания d базы D.
Доказательство. В силу определения предела функции по базе В имеем, что для всякого є > 0 существует окончание 6 = 6(є) ? В такое, что при всех х G Ь имеем |/(х) — Jj < е.
Из условия теоремы следует, что существует окончание d Є D такое, что g(d) С и, следовательно, для любого t € d
I/№))-'!<*,
что и означает справедливость утверждения теоремы. Доказательство закончено.
Примеры. 1. Пусть
Iim f{x) — /. X=-.
70 Тогда
limfі-)=1.
Действительно, любое окончание b = {х \ \х\ > с} базы В (я оо) содержит целиком образ окончания d = {< | |f| < 1/с} базы D (і —> 0).
т.е. сложная функция имеет другой предел. В этом случае окончания bs Є В (х —> 0) имеют вид 0 < |xj < S, но образ любого окончания d Є D, d = {t I 0 < |<| < ?i}, имеет вид х = 0, т.е. в окончании bs базы В не содержится образ ни одного окончания базы D, т.е. не выполнены условия теоремы 1.
3. Пусть f(x) —У I при X —У а и ^(t) —> а при t Ь, причем g(t) ф а в некоторой проколотой окрестности точки Ь. Тогда для сложной функции h(t) имеем h(t) = f{g(t)) —У I при t —У Ь.
Действительно, каждое окончание базы гча представляет собой некоторую проколотую окрестность точки X = а. Но в силу условия g(t) -4 а и g(t) ф а при t —У b эта окрестность содержит образ некоторой проколотой окрестности точки t = b при отображении X = g(t). Таким образом, здесь выполнены условия теоремы I, и поэтому h(t) -+1 при t -+ Ь, что и требовалось доказать.
Доказанные нами теоремы применяются при вычислении пределов функций.
4. При х —^ 0 имеем
2. Пусть
1, если х = 0, 0, если X ф 0,
и g(t) = 0. Тогда
lim/(x)=0, но Iim/(<7(<))==1
г-+0 t-fO
/(х) =
X2 + 2х + 1 O2 + 2 • 0 + 1 х3 + х + 1 O3 + 0 + 1
= 1.
5. При X —у 2 имеем
22 + 2 • 2 + 1 _ _9_ _____ _
6. При x —у OG имеем
I * + ! + ?
—У 0.
71 § 7. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ
Определение 1. Пусть а(х), ?(x), у(х) бесконечно малые функции по базе В. Тогда, если ос(х) представлена в виде
a(x) = ?(x)y(x),
то говорят, что а(х) имеет больший (или более высокий) порядок малости, чем ?(x) или у(х).
Определение 2. Бесконечно малые функции а(х) и ?(x) называются эквивалентными (по базе В), если разность
ф) = а(х) - ?(x)
имеет более высокий порядок малости, чем а(х) (или ?(x)). В этом случае пишут: a ~ ? (по базе В).
Утверждение 1. Следующие утверждения эквивалентны: 1) a ~ ? (по базе В); 2) | ~ 1 (по базе В), f ~ 1 (по базе В).
Доказательство. 1) По условию 8 = а — ? имеет более высокий порядок малости, чем а, т.е. 8 = ау, где у — бесконечно малая функция. Следовательно, имеем ? = а —
? = = 7) = 1 - у 1.
а а а
2) Обратное утверждение доказывается аналогично.
Определение 3. Пусть функция д(х) не обращается в нуль на некотором окончании базы В.
1. Если функция h(x) = финально ограничена (по базе В), то пишут
f(x) = 0(д(х)) (по базе В).
Читается: f есть О большое от д по базе В. Или пишут так:
f(x) tC д(х) (по базе В).
В случае, когда f(x) -С g(x) -С }(х), говорят, что функции f(x) и д(х) имеют одинаковый порядок по базе В.
2. Если функция h(x) — бесконечно малая, то пишут f(x) = о(д(х)). Читается: f есть о малое от д.
3. Если существуют число 6 > 0 такое, что для любого окончания Ъ базы В найдется х Є b с условием |/i(x)j > 8 > 0, то пишут
f(x) = Q(g(x)) (по базе В).
Читается: f есть омега от g (по базе В).
4. Функция f(x) = O(xm) при X —> 0 называется бесконечно малой порядка т.
Знаки 0(g), о(^), &(д) предложены Э. Ландау, а знак ввел И. М. Виноградов.
72 Примеры. 1. При х —у оо
x + 1
х + 2
2. При X оо
O(I)
X X V ar / X
3. При X —> 0+ имеем л/х — X ~ >/х. /vskipOmm
4, При X +оо имеем у/х — X ~ —х. Глава IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 12
§ 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Определение X. Функция /(ж) называется непрерывной в точке
Xo, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
1) V є> 0 3 6 = 6{є) > 0 V х: |х - х0| < S => |/(ж) - /(х0)| < е;
2) Iim /(ж) = /(*„);
г->г0
3) lim f(x) = f( lim х\ Х-?Х0 yi-»!Co J
4) f(x) = f{xо) + а(х), где a(x) — бесконечно малая функция при X X0, <*(х0) = 0;
5) для любого е > 0 имеем: є-окрестность точки /{хо) содержит образ (при отображении f) некоторой окрестности точки Xo
Эквивалентность этих определений следует из доказанных ранее теорем о пределах.
Определение 2. Функция называется непрерывной справа, если
/(X0+)= Iim /(*)= /(ж0);
х-+х0 +
непрерывной слева, если
/(X0-)= lim f(x) = f(x0).
х-+х0-
Утверждение 1. Для того чтобы /(ж) была непрерывной в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы /(х) была одновременно непрерывна справа и слева.
Доказательство. Необходимость. Если /(ж) непрерывна, то /(ж) —у /{хо) при ж жо- Это значит, что для любого є > 0 существует S ~ 6(e) > 0 такое, что при всех ж: |ж — жо) < S справедливо неравенство )/(ж) — /(жо)| < Но тогда при всех ж: —J < ж — жо < 0 имеем |/(ж) - /(жо)| < є, т.е. /(ж) непрерывна слева. Непрерывность справа устанавливается аналогично.
