Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
При X 0, т.е. при хо = 0, имеют места более точные соотношения, которые называются замечательными пределами:
1) sin х/х ~ 1,
2) (ех — 1)/х ~ 1.
Эти пределы используются далее для изучения дифференциальных свойств элементарных функций. Лек іідя 13
§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Утверждение 1. Имеют место соотношения:
а) lim (l + jH =е;
ж-+OO Y xJ
б) lim(l + я:)1/* = е;
в) Um = 1;
г) Iі™ ^ = 1'
х-+0 х
Д о к а за тел ь с т в о. а) Рассмотрим сначала случай ж —> H-OO. В силу свойства монотонности показательной функции справедливы неравенства
1
- нтт)'" < К)'< КГ
Но мы знаем, что
lim (l + ~
n-+oo V Tl
п
е.
Отсюда
Iim (і + * n-+oo \ Tl + 1
п
= е, Iim ( 1 +
П-+СО V
І)
п + 1
т. е. справедливы утверждения
V E > О 3 N1 = N1(E) : V п> N1 =>
3 N2 = N2(e) : V n > N2 Тогда при п > m&x(Ni, N2) имеем
1
п
1 +
П + 1
— е
<є;
п
п + 1
<
е - є < 1 +
п + 1
< е +
е - є < Ll + і
n + 1
< е + е.
Если X > 1 + max(Ni, N2) = Ar, то [x] > Tnax(NliN2) -N- 1. Следовательно, при х> N справедливы неравенства
W / JXjr / j \M+i
е-є< 1+
[х]+1
< 1 +
X
< 1 +
М.
< е + ?.
79 Таким образом, получим
V ?>0 3 JV: V ж > N =>
X
< Є.
Это значит, что + -J —> е при х +оо.
Рассмотрим теперь случай х —» —оо. Положим у = —г. Тогда, используя теорему 4 §6 гл. III о пределе сложной функции, будем иметь у
е = Iim (1+ —Ц-) = Iim (-^-г ] =T у-^+со у у - 1 J у-+ + OO _ 1 у
= lim f 1 - = lim f 1 + i^l .
у->+ OO у у J т->~оо у XJ
Соединяя вместе случаи х +оо и аг —у —оо, приходим к соотношению
Iim ( 1 + - j = е.
х—юо \ X J
Утверждение а) доказано.
б) Для доказательства соотношения Hm (I + z)1/* = е воспользуемся
Г-+0
той же теоремой 4 §6 гл. III. Полагая х = 1/г/, получим
е = Iim ^1+-1 = lim(l + х)1/х. у-toо \ у J г~+0
в) Так как
1 Ir 1р(1+х)
(1 + 2:)/ =6 * е при X О,
то из непрерывности и монотонности функции у = следует, что
HmMilfi = I.
X
г) Вновь воспользуемся теоремой о пределе сложной функции, полагая
д{х) = ех - 1 О при ?-)-0, f(y) = litoi 1 „р„ „ _ О,
У
и, кроме того, /(O) = 1.
Тогда имеем f(g(x)) = 1 при дт —+ 0. Отсюда следует
утверждение г).
Утверждение 1 полностью доказано.
80 Утверждение 2. IiinsiJi=I.
Доказательство. При О < х < 7г/2 рассмотрим сектор единичного круга, отвечающего дуге длины я, и два треугольника, один из которых вписан в сектор, а второй, прямоугольный, содержит его, имея с ним общий угол и сторону на оси абсцисс. Сравнивая площади этих фигур, имеем
sin X X tgx
-< - < -z—:
2 2 2
Отсюда получим
sin X cos X < -< 1.
X
Последние неравенства связывают четные функции, поэтому они имеют место при 0 < |х| < 7г/2. Так как cos х — непрерывная функция, то по теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем
sin X lim-= 1.
Z-+0 X
Доказательство закончено.
Примеры вычисления пределов.
1. lim U±*?zl = 1-ю х
(1 + х)а _ 1 ^ е«1п(1+®) _ I ^ еах+о(х) _ j ^ X X X
1-f ах 4- oix) - 1
= -1-= от -f о(1) а при х 0.
X
Этот прием называется заменой бесконечно малой функции на эквивалентную ей.
2. Iim 1^cosx - 1
і—>0 2'
l-cosx _ 2sin2 I 2(1 + о(х))2 ^ + о(х2) 1
X2 X2 X2 X2 2
Таким образом:
1) (1 + х)а = 1 + ах + о(х). при X -у 0;
2
2) cos X = 1 — ті- + о(х2) при X —у 0;
3) Iim ( 1 + - I — ех. Положим хп = - —У 0 при п -4 ос. Тогда по «-»¦00 V nJ п
теореме о пределе сложной функции имеем
Iim (l+ -У = lim ((l + ®ft)1/*-)e = e*lim*--ii?^ = c».
п—>-оа \ п J п~?00
81 § 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной на множестве А, если она непрерывна во всякой точке х € А.
Если не все точки множества А входят в него с некоторой окрестностью, то это определение чуть-чуть меняется, например:
Определение 1а. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке I = [а, 6], если она непрерывна при всех Xq с условием a < хо < Ь, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Определение 2. Функция f(x) на множестве А называется
а) неубывающей (/ t на А), если f(a) < f(b) при всех значениях a, b ? А, а < Ь;
б) невозрастающей (/ | на А), если f(a) > f(b) при всех значениях a,b 6 A, а < b;
в) (строго) возрастающей (/ tt)> если f(a) < f(b) при всех значениях а,Ь G A, a < b;
г) (строго) убывающей (/ j4), если /(а) > f(b) при всех значениях а, b Є A, a < b.
Если f(x) неубывающая, или невозрастающая, или возрастающая, или убывающая на А, то f(x) называется монотонной функцией на А.
Определение 3. Если в своей области определения функция f(x) не является непрерывной в точке Xq , то она называется разрывной в точке хо. Точка Xq называется точкой разрыва /(х).
Определение 4. Точка хо называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют конечные пределы lim fix)
я Iim f(x). В противном случае точка разрыва функции f(x)
X—?Xq —
называется точкой разрыва второго рода.
