Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
(yn)m = zm к уп = z, т.е. ( \/x)n = Vx^- Это значит, что операция извлечения корня и возведения в целую степень перестановочны, и для числа z возможно использовать обозначения вида г = Xn^m и г"1 = х~п/т.
Пусть теперь г = а/Ь и T1 = ai/bi рациональные числа, причем a, ai — целые числа, а 6, bi —натуральные числа. Положим d, = — х1/ (Wi)j будем иметь
XrXri = dabldaib = dabi+aib = X2hs^ = Хг+Гі.
Аналогично, получим
(хг)Гі = (dabl) ^ = daai =X^t = Xrri .
85 Таким образом, для рациональной степени фиксированного числа х выполняются те же функциональные соотношения, что и для целой степени того же числа х.
Далее, используя прежние обозначения, допустим, что г > п и X > 1. Тогда d > 1, abl> aib и dabl > d°lb, хт > XrK
Следовательно, при возрастании рационального числа г при х > 1 значения хг возрастают. Далее положим х = е. Ранее для любого натурального b нами были получены неравенства
ь+1
, їх і і \
I1 +
Отсюда следует, что
^1Ii
еь+і Cl-I--T-Ceb.
0
Выполняя очевидные преобразования, получим
-JL. , 1 I -^1 1
0+1
Далее, пусть Jrj < 1 иг = m/n. Тогда |m| < п. Применяя неравенство Вернул ли, приходим к неравенству
(e±l/«)|m| > ц ± ^nJlmIj ет*п =ег >1 + Г.
Отсюда в случае О < г < 1 будем иметь
1 г
е~г > 1 - г, ег < --= 1 +
1 — г 1 — г
Пусть теперь а — иррациональное число, и пусть рациональные числа гі и T2 удовлетворяют неравенствам гі < а < Тогда если {ri}. — множество всех рациональных чисел, определяемых условием гі < а, то соответствующее ему множество чисел M1 = {еГі} ограничено сверху числом еГ2. Следовательно, существует число 7i = sup{eri}*B
силу аналогичных соображений относительно множества M2 = {еГ2}
существует ЧИСЛО 72 = inf {еГз}.
r3> а
Покажем, что на самом деле имеет место равенство 71 =72- Для этого сначала заметим, что каждое из чисел ег2 является верхней гранью множества М\, в то время как 71 есть точная верхняя грань этого множества. Следовательно, для любого г2 > а выполнено неравенство 71 < еГз. Это значит, что 71 есть нижняя грань множества M2. Но так как 72 — это точная нижняя грань данного множества, то 7! < 72.
86 Выберем теперь некоторые значения T*i и г2 с. условием
[а] < г\ < а < г2 < [а] + 1. Тогда справедливы неравенства
еГі < 71 < 72 < еГз < еМ+1,
О < 72 - 71 < ^ - = еГі (еГз_Гі - 1) < —Гі
- - i-(r2-ri)
Но поскольку число 72 — 7і — фиксировано, а число T2-T1 > О может быть сколь угодно малым (например, в качестве ri и г2 можно выбрать любые округления числа а с избытком и недостатком), то отсюда следует, что 72 — 71 — 0. те- 72 = 7ь Указанную величину = 72 = 7 мы возьмем в качестве значения степени еа, т.е. мы по определению полагаем
7 = 7i=72 = e®.
Тем самым мы определили функцию у — ет для всех возможных вещественных значений х.
Осталось показать, что эта функция строго возрастает и удовлетворяет функциональному уравнению вида
Прежде всего следует сказать, что из ее определения вытекает, что если Г] < а < Г2, где г і и г2 — рациональные числа, то имеет место неравенство
еГ1<еа<еГз.
Но тогда, если а < 0, то Ha интервале (а, ?) найдется рациональное число г3 >такое, что имеет место неравенство
еа < еГз < е^.
Таким образом, строгая монотонность функции у — ех установлена. Пусть теперь f.t = a+^?. Заметим, что если /х — рациональное число, то и в этом случае при рациональных п и г2 имеем
Btt = sup еГі — inf еГа.
Гі<ц r2>fi
Доказательство последнего равенства по существу повторяет рассуждения, проведенные нами выше для иррационального числа ц.
Представим теперь число г і в виде г і = т\ + г", где т[ < а и г" < ?, а число Ti — в виде г2 = T2 + T2, где г2 > а и T2 > ?.
87 Тогда будем иметь
ег, _ егi+rj' < eae? < ег'3+г'2' __ ег3) еп < < ег2 Отсюда следует, что
Но ранее мы уже показали, что данное неравенство при произвольных рациональных значениях г\ и г2 с условием rj < ji < г2 влечет за собой равенство h = 0. Другими словами, это означает, что
е" = ea+? = еае^
и тем самым все требуемые свойства функции у = ех, определенной ранее на всей вещественной оси, полностью доказаны.
Тогда у функции /(х) = е*, отображающей вещественную ось M на луч (0,+оо), существует обратная функция <7(х), отображающая луч (0, +оо) на всю вещественную ось HL Эта функция называется натуральным логарифмом и обозначается так: </(х) = Inx. Она всюду непрерывна, строго возрастает и удовлетворяет условию: х = elni. Отсюда имеем
elnxy Z=Xy = е1пхе1пу = е1пх+1пу.
Поэтому справедливо равенство In ху = In х + In у. Тем самым установлено основное свойство функции у = Inx.
Обратимся теперь к степенной функции у = Xа, где X > 0. Для рациональных значений а ее свойства уже описаны при определении показательной функции. Если же а — иррациональное число, то тогда эту функцию мы можем определить равенством
_а _ „а In X
X =.е
В этом случае все ее элементарные свойства следуют из уже рассмотренных свойств показательной и логарифмической функций.
Здесь уместно снова подчеркнуть, что строгое обоснование свойств тригонометрических функций в этой части курса по указанным ранее причинам проводиться нами не будет.
