Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
426 zs+1 — za — 2~k < 6 при всех 5=1,...,2*-Ы. По построению любая из числовых последовательностей {Л{га)} сходится, и поэтому для нее найдется номер п3 такой, что при всех п и т > п3 имеем
Ihm(zf) - hn(z3)l < є/З.
Теперь в качестве nofs) выберем номер no(e) = max ns и покажем,
e<2fc=l
что он удовлетворяет требуемым условиям. Действительно, пусть x g Є [0,1] и zt — ближайшее к нему число из множества zi,..., z2k+1. Ясно, что \x — zt\ < 2~к < откуда вытекает, что [Ллс(дт) — Л-л(-гг^)! < е/3 при всех к Є N.
Окончательно при всех т и п > По(е) > щ имеем
IM*) - М*)1 < IM®) - hm(zt)\ + Ihm(zt) - K(zt)I + |ЛВ(*0 - Afl(^)I <
< е/3 + е/3 + е/3 = е.
Это значит, что по критерию Коши последовательность hn(x) сходится равномерно на /. Теорема 1 доказана.
Замечание. Утверждение теоремы 1 можно рассматривать как достаточное условие компактности некоторого множества в пространстве С[0, 1] всех функций, непрерывных на отрезке I = [0,1]. Можно показать, что это условие является и необходимым для замкнутого множества функций, но здесь мы этого вопроса касаться не будем. Глава XVII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Лекция 15
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Изучение интегралов, зависящих от параметра, или параметрических интегралов, составляет вторую большую тему третьего семестра, охватывающую элементарную теорию собственных и несобственных интегралов. Сначала рассмотрим собственные интегралы от функций, зависящих от одного числового параметра.
Пусть функция f(x, у) задана на прямоугольнике П = I\ х I2, где Ii и I2 — отрезки вида Ii = [о,b], I2 = [c,d\. Другими словами, П есть множество точек {(я, у)} координатной плоскости хОу, удовлетворяющее условиям а < X < 6, с < у < d.
Будем считать, что при любом фиксированном у Є I2 функция д(х) = ду{х) = f(x, у) интегрируема по Риману на [а, 6].
Определение X. Интеграл J^ f(x,y)dx = <р(у) называется интегралом, зависящим от параметра у. Отрезок I2 = [c,c(j в этом случае будем называть множеством значений параметра у.
Разумеется, вместо I2 в качестве множества значений параметра у может выступать любое подмножество M вещественной оси Oyj и в этом случае будем сохранять введенную выше терминологию. Помимо отрезка I2, чаще всего в качестве такого множества мы будем рассматривать интервалы, открытые и замкнутые лучи, проколотые окрестности точек или саму вещественную прямую М.
Теорема 1. Если f(x, у) непрерывна на прямоугольнике П = Ii X I2, где Ii и I2 — отрезки, 11 = [а, 6], I2 = [с, rf], то функция
непрерывна на отрезке I2.
Доказательство. Поскольку прямоугольник П является компактом, функция f(x,y), непрерывная на нем, является равномерно непрерывной на П. Следовательно, при любом є > О
ъ
а
428 найдется число S = S (є) > 0 такое, что при любых точках (х^уі) и 3/2) ЄЇЇ справедливо неравенство
]f(*l>Vl) ~/{х2,У2)\ < S-
Зафиксируем произвольно некоторую точку уо на I2 . Тогда для любого у из ее проколотой <5-окрестлости на оси Oy и любого х Є h — Щ для разности r(x) = г(х,у,уо) = /(ж, у) — /(е,Уо) имеем оценку
поскольку расстояние р(А, В) между точками А = (х,у) и B = (х,уо), равное \у—уо!) не превышает 6. Интегрируя г(х) по отрезку 7, получим
ыу) - <РІУо)\ =
о t>
J r(x) dx < J |r(x)j dx < є(Ь — а).
В силу произвольности выбора є > 0 отсюда следует, что <р(у) <р(уо) при у—Ууо, т.е. ір(у) непрерывна в точке у ~ Уо, и так как точка уо выбрана произвольно, то <р(у) непрерывна на I2. Теорема 1 доказана.
Доказанная теорема допускает следующее простое обобщение.
Теорема 2. Пусть функции <р\[у) и (р2{у) непрерывны на I2 — [с, d\ и удовлетворяют неравенствам a < <р\(у) < <р2(у) < Ь, Тогда в условиях теоремы 1 функция h(y), где
^з(у)
Му) = J f(x,y)dx,
Vi(y)
тоже непрерывна на I2-
Прежде чем доказывать теорему 2, заметим, что функцию h(y) тоже можно рассматривать как параметрический интеграл, поскольку
о
Чу) = J fi{x,y)dx,
где /і (х, у) = Дх,у) при Ifii (у) < x < (fi2(y} и /i(x,y) = Ob противном случае.
Доказательство. Снова рассмотрим произвольную точку уо отрезка I2. Для приращения ДА(уо) = h(y) — Муо) функции h(y) в этой точке имеем соотношения
<Р 2(у) V2{yo)
Д^(уо) = J f(xty)dx- j f(x,y0)dx
lPiiy) ?>іІУо)
429 Va(y)
= J №,y) ~/(*.Уо)) dx + j f{x,y0)dx- J /(x,y0)dxj =
Vi(y) V1^)
= п(у) +r2{y)-
{ Va(y)
Va(yo) /
Vi (Уо)
Оценим величины гі(у) и г2(у) в предположении, что j г/ — j/o I С <5 (е:), где ?(е) > 0 и є > 0 имеют тот же смысл, что и в теореме 1. Имеем
va(y)
Му)| < J №.У)-/(^3/о)|^<ф2(у)-^(у)|<?(6-а). ,Vi(у)
Далее если M = sup |/(х, у)J1 то для величины г2(у) получим оценки
п
ЫУ)\ =
Vi(Уо) Va(y)
J f{x,yo)dx+ j /(х,уо)
Vi{y) va(yo)
dx
<
Vi (уо) Л Va(y) Л
< M / dx + M / dx
J Vi{y) J ЫУо)
= Л/!Д^і(уо)| + M\A<p2(yo)\.
Поскольку функции <рі(у) и <р2{у) непрерывны на I2, при достаточно малом |Дуо1 = ІУ — Уо| < выполнены неравенства |Д<^>і(уо)| < є и |Дуг(уо)1 < Положим <So(e) = mm(<?j(є),62(є)). Тогда при всех у с условием Jy- уо j < So (?) будем иметь
